《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

8. 若平面上四条直线两两相交，且无三线共点，则一共有24对同旁内角.
(江苏省竞赛题)

答案： 8.24　每两个交点之间有一条线段，每条线段的两侧各有一对同旁内角，而共有12条线段.

9. 同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
(1)如图①，$ \angle \alpha $ 和 $ \angle \beta $ 具有怎样的数量关系? 请说明理由.
(2)如图②，$ \angle DFC $ 的平分线与 $ \angle EGC $ 的平分线交于点 Q，求 $ \angle FQG $ 的大小.
(3)如图③，点 P 是线段 AD 上的动点(不与 A，D 重合)，连接 PF，PG，$ \frac{\angle DFP + \angle FPG}{\angle EGP} $ 的值是否变化? 如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由.

答案： 9.
(1)∠α+∠β=90°
(2)过点Q作QH//DF,则$∠FQG=∠DFQ+∠QGC= \frac{1}{2}(180° - α + 180° - β) = 135°.$
(3)过点P作PM//DF,则∠DFP + ∠FPG = ∠FPM + ∠FPG = ∠GPM = ∠EGP，故$\frac{∠DFP + ∠FPG}{∠EGP} = \frac{∠EGP}{∠EGP} = 1$为定值.

10. 如图，已知 $ CD // EF $，$ \angle 1 + \angle 2 = \angle ABC $，求证：$ AB // GF $.
(重庆市竞赛题)

答案： 10.作CK//FG,延长GF,CD交于H点，则∠H + ∠2 + ∠BCK = 180°，因∠1 + ∠2 = ∠ABC，故∠ABC + ∠BCK = 180°，即CK//AB，AB//GF.