《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

11. 完美长方形 1925 年，数学家莫伦找到了一种把长方形分割成大小不同的正方形的方法，且给出了两个长方形的分割作为例子，这种长方形被后人称为“完美长方形”。
如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大长方形（其中有三个小正方形的边长已标出字母 $x,y,z$）。试求满足上述条件的长方形面积的最小值。

答案：
11. 答案：如图，由三个小正方形边长$x$，$y$，$z$可分别表示出其余正方形边长，得：$\begin{cases}11x + 3y = 7x + 16y - z\\8x + 8y - 3z = 6x + 5y + z\end{cases}$。消去$z$得$18x = 49y$，
∵$18$，$49$的最大公因数为$1$，
∴$x = 49$，$y = 18$是最小的正整数解，于是$z = 38$。所以，最小值为：$593×422 = 250246$。

12. 去伪存真 某单位食堂重装升级，升级后菜品种类变多，已知每个菜单价定为 2 元、4 元、6 元、8 元、10 元，因菜品尚未标价，就餐人员并不知每个菜的具体价格，每次取完餐付过钱，大家通过对比各自餐盘中与他人重复的菜，来计算每种菜的价格。
已知甲、乙、丙三人共同就餐，甲选了 $A,B,C$ 三种菜共 14 元，乙选了 $C,D,E$ 三种菜共 16 元，丙选了 $A,C,D$ 三种菜共 22 元，付款时得知 $A$ 的价格低于 $D$ 的价格，请确定 $A,B,C,D,E$ 的单价。
（《时代学习报》数学文化节试题）

答案： 12. 答案：$\begin{cases}A + B + C = 14\\C + D + E = 16\\A + C + D = 22\end{cases}$，① + ②得$A + C + D + B + C + E = 30$，将③代入得$22 + B + C + E = 30$，则$B + C + E = 8$，因为$B$，$C$，$E$取值可能性为$2$，$4$，$6$，$8$，$10$，所以$B$，$C$，$E$三种菜价格应为$2$元、$2$元、$4$元。若$E$的价格为$4$，则①中$A + 4 = 14$，$A = 10$；②中$2 + D + 4 = 16$，$D = 10$；$A$与$D$价格相等，不合题意。若$B$的价格为$4$元，则①中$A + 4 + 2 = 14$，$A = 8$；②中$2 + D + 2 = 16$，$D = 12$（不合题意）。若$C$的价格为$4$元，则①中$A + 2 + 4 = 14$，$A = 8$；②中$4 + D + 2 = 16$，$D = 10$；③中$8 + 4 + 10 = 22$，符合题意。所以$A$，$B$，$C$，$D$，$E$价格分别为$8$元、$2$元、$4$元、$10$元、$2$元。