《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 5
已知当$x = 1$时，$3ax^{3} + bx^{2} - 2cx + 4 = 8$，并且$ax^{3} + 2bx^{2} - cx - 15 = -14$，求当$x = -1$时，$5ax^{3} - 5bx^{2} - 4cx + 2019$的值.

 

答案： 例5. 由条件得
$3a + b - 2c = 4$ ①，
$a + 2b - c = 1$ ②，
当$x = -1$时，所求多项式为$-5a - 5b + 4c + 2019 = -(5a + 5b - 4c) + 2019$.
把$5a + 5b - 4c$用与①②相关的式子表示是解题的关键.
由① + ②×2 得$3a + b - 2c + 2(a + 2b - c) = 4 + 1×2$，
即$5a + 5b - 4c = 6$，
$\therefore$原式$= -6 + 2019 = 2013$.

1. 若$2x - 3y - 1 = 0$，则$5 - 4x + 6y$的值为3.
(内蒙古自治区包头市中考题)

答案： 1. 3 原式=5-2(2x-3y).

2. 已知$P = 3xy - 8x + 1$，$Q = x - 2xy - 2$，当$x \neq 0$时，$3P - 2Q = 7$恒成立，则$y$的值为2.
(四川省宜宾市中考题)

答案： 2. 2 由条件得13xy-26x=0,13(y-2)x=0,y-2=0.

3. 如图，棋盘上有甲、乙两个围棋盒.
(1)甲盒中都是黑子，共 10 个，乙盒中都是白子，共 8 个.嘉嘉从甲盒拿出$a$个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的 2 倍，则$a =$4；
(2)设甲盒中都是黑子，共$m(m ＞ 2)$个，乙盒中都是白子，共$2m$个.嘉嘉从甲盒拿出$a(1 ＜ a ＜ m)$个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多(m+2a)个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回$a$个棋子放到甲盒，其中含有$x(0 ＜ x ＜ a)$个白子，此时乙盒中有$y$个黑子，则$\frac{x}{y}$的值为1.
(河北省中考题)

答案： 3.
(1)4
(2)(m+2a) 1

4. 秦九韶算法
当$x = 5$时，求多项式$3x^{3} + 5x^{2} + 2x + 2$的值，如果用计算机计算，计算机会算 6 次乘法，3 次加法.具体如下所示：
$\frac{3x^{3} + 5x^{2} + 2x + 2}{3· x· x· x\ 5· x· x\ 2· x}$
而当把这个多项式转化成$[(3x + 5)x + 2]x + 2$的形式时，计算机只需要做 3 次乘法和 3 次加法，大大缩小了计算量.
问题：
(1)直接计算多项式$a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + ·s + a_{1}x + a_{0}$在$x = m$时的值时，需要做的乘法和加法次数分别是\frac{n(n+1)}{2}和n.
(2)如果用秦九韶算法来简化计算量，可以把(1)中这个多项式写成\{\{[(a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2}]x+a_{n-3}\}x+·s+a_1\}x+a_0的形式.此时需要做的乘法和加法的次数分别为n和n.
（《时代学习报》数学文化节试题）

答案： $4. (1)\frac{n(n+1)}{2} n$
$(2)\{\{[(a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2}]x+a_{n-3}\}x+·s+a_1\}x+a_0 n n$