《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

11. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$,$E$ 在 $BC$ 上,且 $BD = EC=\frac{1}{5}BC$,点 $F$ 在 $AC$ 上,且 $AF=\frac{2}{3}AC$,$BF$ 与 $AD$,$AE$ 分别交于点 $G$,$H$,若 $\triangle ABC$ 的面积为 $1155$,求:
(1)$\frac{AH}{HE}$ 的值;
(2)四边形 $GHED$ 的面积.
(“希望杯”邀请赛试题)

答案：
11.
(1)如图①,连接EF,则S△AEC=1/5×1155=231,S△ADE=693,S△ABE=4/5×1155=924,S△BFC=1/3×1155=385,S△ABF=2×385=770,S△BEF=4/5×385=308,
∴AH/HE=S△ABF/S△BEF=770/308=5/2.
(2)如图②,连接EG,设S△GED=a,S△BGH=b,则S△BDG=a/3,S△AGH=5b/2,S△BEH=2/7S△ABE=264,
　　　{4/3a + b = 264, a + 7/2b = 693,解得{a = 63, b = 180.
∴S四边形GHED=a + b=63 + 180=243.
　　

12. 直角三角形的两条直角边长分别为 $5$ 和 $12$,斜边长为 $13$,$P$ 是三角形内或边界上的一点,$P$ 到三边的距离分别为 $d_{1}$,$d_{2}$,$d_{3}$,求 $d_{1}+d_{2}+d_{3}$ 的最大值和最小值,并求当 $d_{1}+d_{2}+d_{3}$ 取最大值和最小值时 $P$ 点的位置.

答案：
12.如图所示,在△ABC中,∠C = 90°,BC = 5,AC = 12,BA = 13,P到BC,CA,AB的距离分别为d₁，d₂，d₃,连接PA,PB,PC,由三角形的面积公式得:
　1/2×5d₁ + 1/2×12d₂ + 1/2×13d₃=1/2×5×12,
　即5d₁ + 12d₂ + 13d₃=60.
　　　　　　　　　　　　　
　显然有5(d₁ + d₂ + d₃)≤5d₁ + 12d₂ + 13d₃≤13(d₁ + d₂ + d₃),
　故60/13≤d₁ + d₂ + d₃≤12.
　当d₂ = d₃ = 0时,有d₁ + d₂ + d₃ = 12,即d₁ + d₂ + d₃取最大值时,P与A重合;当d₁ = d₂ = 0时,有d₁ + d₂ + d₃ = 60/13,即d₁ + d₂ + d₃取最小值时,P与C重合.