《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

8. 如果不等式组 $\begin{cases}9x - a \geq 0, \\ 8x - b ＜ 0\end{cases}$ 的整数解仅为 $1$，$2$，$3$，那么适合这个不等式组的有序数对 $(a,b)$ 共有( ).

A.$17$ 个
B.$64$ 个
C.$72$ 个
D.$81$ 个
 

答案： 8.C 因$\begin{cases}x\geq\frac{a}{9}\\x＜\frac{b}{8}\end{cases}$中$x$的整数解仅为$1,2,3$，故$0＜\frac{a}{9}\leq1$，$3＜\frac{b}{8}\leq4$，即$0 ＜ a\leq9$，$24 ＜ b\leq32$，有序数对$(a,b)$有$8×9 = 72$个.

9. 解下列关于 $x$ 的不等式：
(1)$\vert 2x - 1\vert \leq 3$；
(2)$\vert ax - 1\vert ＞ ax - 1$；
(广西壮族自治区竞赛题)
(3)$\frac{2x + 1}{2 - 3\vert x\vert} ＜ 0$.
(福建省龙岩中学自主招生试题)

答案： 9.
(1)$-1\leq x\leq2$.
(2)$ax - 1 ＜ 0$，即$ax ＜ 1$.当$a ＞ 0$，解为$x＜\frac{1}{a}$；当$a ＜ 0$时，解为$x＞\frac{1}{a}$；当$a = 0$时，解为一切实数.
(3)当$x ＞ 0$时，$\frac{2x + 1}{2 - 3x}＜0$，得$\begin{cases}2x + 1＞0\\2 - 3x＜0\end{cases}$，解得$x＞\frac{2}{3}$.
当$x ＜ 0$时，$\frac{2x + 1}{2 + 3x}＜0$，同理得$-\frac{2}{3}＜x＜-\frac{1}{2}$.
故$x$的取值范围为$x＞\frac{2}{3}$或$-\frac{2}{3}＜x＜-\frac{1}{2}$.

10. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表：

(1)甲、乙两种水果每千克的进价分别为多少元？
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动.第三次购进甲、乙两种水果共 $200$ 千克，且投入的资金不超过 $3360$ 元.将其中的 $m$ 千克甲种水果和 $3m$ 千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克 $17$ 元、乙种水果以每千克 $30$ 元的价格销售.若第三次购进的 $200$ 千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于 $800$ 元，求正整数 $m$ 的最大值.
(江苏省苏州市中考题)

答案： 10.
(1)$12$元 $20$元
(2)设水果店第三次购进$x$千克甲种水果，获得的利润为$W$元，则$\begin{cases}12x + 20(200 - x)\leq3360&①\\W=(17 - 12)(x - m)+(30 - 20)(200 - x - 3m)=-5x - 35m + 2000&②\end{cases}$
由①得$x\geq80$，当$x = 80$时，$W$有最大值，最大值为$-35m + 1600$.
由$-35m + 1600\geq800$得$m\leq22\frac{6}{7}$，故正整数$m$的最大值为$22$.