《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 2
如图，点 $O$ 是直线 $AC$ 上一点，$OB$ 是一条射线，$OD$ 平分$\angle AOB$，$OE$ 在$\angle BOC$内，且$\angle DOE = 60^{\circ}$，$\angle BOE = \frac{1}{3}\angle EOC$。则下列四个结论：①$\angle BOD = 30^{\circ}$；②射线 $OE$ 平分$\angle AOC$；③图中与$\angle BOE$互余的角有 $2$ 个；④图中互补的角有 $6$ 对。则正确的个数有()。


A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
 

答案： D

例 3
（1）如图①，已知$\angle AOC = \angle BOD = 80^{\circ}$，$OE$，$OF$ 分别平分$\angle AOD$ 与$\angle BOC$，求$\angle EOF$ 的度数。
（2）若$\angle AOC = \angle BOD = \alpha$，将$\angle BOD$ 绕 $O$ 点旋转，使得射线 $OC$ 与射线 $OD$ 的夹角为 $\beta$，$OE$ 平分$\angle AOD$，$\alpha + \beta ＜ 180^{\circ}$，$\alpha ＞ \beta$，求$\angle EOC$ 的度数（用含 $\alpha$，$\beta$ 的代数式表示）。
 

 

答案： （1）设$\angle COD = x^{\circ}$，
$\angle AOD = \angle AOC + \angle COD = (80 + x)^{\circ}$，
$\angle BOC = \angle BOD + \angle COD = (80 + x)^{\circ}$，
$\because OE$平分$\angle AOD$，$\therefore \angle EOD = \frac{1}{2}\angle AOD = (40 + \frac{x}{2})^{\circ}$，
$\because OF$平分$\angle BOC$，$\therefore \angle COF = \frac{1}{2}\angle BOC = (40 + \frac{x}{2})^{\circ}$，
$\angle EOF = \angle EOD + \angle COF - \angle COD = (40 + \frac{x}{2}) + (40 + \frac{x}{2}) - x = 80^{\circ}$。
（2）
情况1：OD在$\angle AOC$外部
$\angle AOD = \alpha + \beta$，
$\because OE$平分$\angle AOD$，$\angle EOD = \frac{1}{2}(\alpha + \beta)$，
$\angle EOC = \angle EOD - \beta = \frac{1}{2}(\alpha + \beta) - \beta = \frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2}\beta$。
情况2：OD在$\angle AOC$内部
$\angle AOD = \alpha - \beta$，
$\because OE$平分$\angle AOD$，$\angle EOD = \frac{1}{2}(\alpha - \beta)$，
$\angle EOC = \angle EOD + \beta = \frac{1}{2}(\alpha - \beta) + \beta = \frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}\beta$。
综上，$\angle EOC = \frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2}\beta$或$\frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}\beta$。
答案
（1）$\boxed{80^{\circ}}$
（2）$\boxed{\frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2}\beta}$或$\boxed{\frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}\beta}$