《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

12. 如图，$101×7$长方阵，行距和列距都是$1$。第$6$列上（除与第$0$行相交处外），每一个阵点上放有一个靶标，而前$5$列上所有的阵点上都放有障碍物。神枪手站在第$0$行第$0$列的位置，要击中靶标，必须先扫清子弹前进弹道（直线）上的一切障碍物。若神枪手每发子弹都能击中目标，而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物。那么，(1)不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个？(2)要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个？
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）

答案：
12.
(1)不需要扫除障碍物就能击中的靶标有33个;
(2)要扫清一个障碍物才能击中的靶标有34个.
　设靶标的位置依次为$A_1(6,1)$，$A_2(6,2)$，...，$A_{100}(6,100)$.神枪手在$O(0,0)$，只要连接$O(0,0)$与$A_i(6,i)$的线段通过第1列到第5列上的格子点，这些格子点上就是射击$A_i(6,i)$靶标时遇到的障碍物.不妨画线段找规律(见下图):
　　　　　
$OA_1$过0个格子点，$OA_2$过1个格子点，$OA_3$过2个格子点，$OA_4$过1个格子点，$OA_5$过0个格子点，$OA_6$过5个格子点，$OA_7$过0个格子点，$OA_8$过1个格子点，……
会发现线段$OA_i$遇到格子点数目是以6为周期循环出现的:
　　　$0,1,2,1,0,5$，$0,1,2,1,0,5$，...
其中对$A_i(6,i)$，当i被6除余1或余5时，对应格点数为0，当i被6除余2或4时，对应格点数为1.
(1)因此，不需要扫除障碍物就能击中的靶标，即上述循环列前100个数中出现0的个数.由于$100 = 6×16 + 4$，每个循环中第1与第5位置出现0，所以共出现$2×16 + 1 = 33$个0.也就是不需要扫除障碍物就能击中的靶标有33个.
(2)要扫清一个障碍物才能击中的靶标，即上述循环列前100个数中出现1的个数.由于每个循环节中第2与第4位置是1，所以共出现$2×16 + 2 = 34$个1.因此，要扫清一个障碍物才能击中的靶标有34个.