《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

11. 解下列方程组：
（1）$\begin{cases}\dfrac{4}{3x - 2y}+\dfrac{3}{2x - 5y}=10, \\ \dfrac{5}{3x - 2y}-\dfrac{2}{2x - 5y}=1;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}\vert x - 1\vert+\vert y - 2\vert = 6, \\ \vert x - 1\vert = 2y - 4;\end{cases}$
（3）$\begin{cases}\dfrac{xy}{3x + 2y}=\dfrac{1}{8}, \\ \dfrac{xy}{2x + 3y}=\dfrac{1}{7};\end{cases}$
（4）$\begin{cases}\vert x\vert + y = 12, \\ x + \vert y\vert = 6.\end{cases}$
（“五羊杯”竞赛题）（全国初中数学联赛题）

答案： 11.
(1)$\begin{cases}x=\frac{4}{11},\\y=\frac{1}{22}\end{cases}$设$\frac{1}{3x-2y}=a$，$\frac{1}{2x-5y}=b$，则$\begin{cases}4a+3b=10,\\5a-2b=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$即$\begin{cases}3x-2y=1,\\2x-5y=\frac{1}{2}.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=5,\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=-3,\\y=4.\end{cases}$ $|x-1|=2|y-2|\geqslant0$，得$y\geqslant2$。
(3)$\begin{cases}x=1,\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$原方程组即为$\begin{cases}\frac{3}{y}+\frac{2}{x}=8,\frac{2}{y}+\frac{3}{x}=7.\end{cases}$
(4)$\begin{cases}x=-3,\\y=9.\end{cases}$就$x,y$的正负性讨论.

12. 已知 $k$ 是满足 $1910\lt k\lt 2010$ 的整数，并且使二元一次方程组 $\begin{cases}5x - 4y = 7, \\ 4x + 5y = k\end{cases}$ 有整数解，问这样的整数 $k$ 有多少个？
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）

答案： 12.由条件得$\begin{cases}x=\frac{35+4k}{41},\\y=\frac{5k-28}{41}.\end{cases}$设$\begin{cases}35+4k=41m,\\5k-28=41n,\end{cases}(m,n$为整数)，消去$k$得$5m+4n=7$，解得$\begin{cases}m=3+4l,\\n=-2-5l.\end{cases}(l$为整数$)$从而得$k=22+41l$，由$1910＜22+41l＜2010$，得$46\frac{2}{41}＜l＜48\frac{20}{41}$。
故共有$2$个$k$值使原方程组有整数解.