《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 4
某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加。如果开放一个检票口，则要 20 分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则 8 分钟队伍就消失。设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟消失？
 

答案： 例 4答案：设检票开始时，等候检票的队伍有 $a$ 人，每个检票口每分钟检票 $x$ 人，队伍每分钟增加 $y$ 人，则：$\begin{cases}a + 20y = 20x,\\a + 8y = 8× 2x,\end{cases}$ 消去 $a$，得 $20(x - y)=8(2x - y),x = 3y$，故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是：$\frac{a}{3x - y}=\frac{20(x - y)}{3x - y}=\frac{20(3y - y)}{3× 3y - y}=\frac{20× 2}{8}=5$（分）。提示：异形同质：许多数学问题形异而质同，即虽情境不同，但结构上常有相似之处，通过类比、熟悉化原则、模式识别等策略，找到解决问题的相同模式。如检票问题、泄洪排水问题、牛吃草问题等都可提炼为如下基本模式：$a + bt = nct$。多元条件：当方程的个数少于未知数的个数时，未知数的值不能唯一确定，可视某个未知数为常量，实现常量与变量的互相转化，或视某些量的和为整体，或把条件进行“线性组合”，便能促使问题的解决。

例 5
购买铅笔 7 支、作业本 3 本、圆珠笔 1 支共需 30 元；购买铅笔 10 支、作业本 4 本、圆珠笔 1 支共需 40 元。问购买铅笔 11 支、作业本 5 本、圆珠笔 2 支共需多少元？
 

答案： 例 5答案：设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为 a,b,c，则$ \begin{cases}7a + 3b + c = 30,\\10a + 4b + c = 40,\end{cases} $需求 11a + 5b + 2c 的值。解法一 原方程变形为$ \begin{cases}3b + c = 30 - 7a,\\4b + c = 40 - 10a,\end{cases}$解得$ \begin{cases}b = 10 - 3a,\\c = 2a,\end{cases}$$\therefore 11a + 5b + 2c = 11a + 5(10 - 3a)+2× 2a = 50$。解法二 把 11a + 5b + 2c 直接用 7a + 3b + c,10a + 4b + c 的式子表示。11a + 5b + 2c = 3×(7a + 3b + c)-(10a + 4b + c)=3× 30 - 40 = 50。解法三 11a + 5b + 2c=(10a + 4b + c)+(a + b + c)=40 + a + b + c，需求出 a + b + c，原方程变形为$ \begin{cases}(a + b + c)+6a + 2b = 30,(a + b + c)+9a + 3b = 40.\end{cases}$① × 3 - ② × 2，得 a + b + c = 3× 30 - 40× 2 = 10，$\therefore 11a + 5b + 2c = 40 + 10 = 50$。