《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 6
（1）把如图①中的 $3×3$ 情形拓展至 $n×n$ 的图形中，正方形的总数是多少？长方形的总数又是多少？对于 $m×n$ 的图形，正方形与和长方形的总数又分别是多少？
（2）类似上述问题，如图②，在 $3×3×3$ 的立体图形中，正方体的总数是多少？长方体的总数又是多少？在 $n×n×n,l×m×n$ 的图形中，正方体、长方体的总数又分别是多少？
（3）请你提出更一般的问题.
分析与解 通过对基本图形 $2×2,3×3$ 中正方形与长方形总数的计数可归纳发现规律.
（1）在 $n×n$ 的图形中，正方形的总数是 $1^2 + 2^2 + ·s + n^2$，长方形的总数是 $1^3 + 2^3 + ·s + n^3$，在 $m×n$ 的图形中，正方形的总数是 $m×n + (m - 1)×(n - 1) + (m - 2)(n - 2) + ·s + (m - n + 1)×1$，长方形的总数是 $(1 + 2 + ·s + m)(1 + 2 + ·s + n)$.
（2）在 $3×3×3$ 的立体图形中，正方体的总数是 36，长方体的总数是 216. 在 $n×n×n$ 的立方体中，正方体的总数是 $1^3 + 2^3 + ·s + n^3$，长方体的总数是 $(1 + 2 + 3 + ·s + n)^3$. 在 $l×m×n$ 的图形中，正方体和长方体的总数请自行推算.
（3）如图③，图中有多少个平行四边形？更一般的规律是什么？
如图④，图中有多少个正三角形？更一般的规律是什么？

答案： （1）在$n × n$图形中：
正方形总数：$\sum_{k = 1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+·s +n^{2}$；
长方形总数：$\sum_{k = 1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+·s +n^{3}$。
在$m× n$图形中：
正方形总数：$\sum_{i = 1}^{\min(m,n)}(m-(i - 1))(n-(i - 1))=m× n+(m - 1)×(n - 1)+·s+(m - n + 1)×1$（假设$m\geq n$）；
长方形总数：$\frac{m(m + 1)}{2}×\frac{n(n + 1)}{2}=(1 + 2+·s + m)(1 + 2+·s + n)$。
（2）在$3×3×3$立体图形中：
正方体总数：$36$；
长方体总数：$216$。
在$n× n× n$图形中：
正方体总数：$\sum_{k = 1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+·s +n^{3}$；
长方体总数：$\left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^{3}=(1 + 2+·s + n)^{3}$。
在$l× m× n$图形中：
正方体总数：$\sum_{i = 1}^{\min(l,m,n)}(l-(i - 1))(m-(i - 1))(n-(i - 1))$（假设$l\geq m\geq n$）；
长方体总数：$\frac{l(l + 1)}{2}×\frac{m(m + 1)}{2}×\frac{n(n + 1)}{2}$。
（3）对于图③：
设图③是由$m$个横线平行线和$n$个竖线平行线组成，平行四边形总数为$\frac{m(m - 1)}{2}×\frac{n(n - 1)}{2}$。
一般规律：在一个有$m$条横向平行线和$n$条纵向平行线组成的图形中，平行四边形总数为$C_{m}^{2}× C_{n}^{2}=\frac{m(m - 1)}{2}×\frac{n(n - 1)}{2}$。
对于图④：
设图④是由$n$层正三角形组成，正三角形总数为$\sum_{k = 1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+·s +n^{2}$。
一般规律：在一个由$n$层正三角形组成的图形中，正三角形总数为$\sum_{k = 1}^{n}k^{2}$。