《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

10. 如图①，在同一平面内，直线 OM⊥ON，垂足为 O，三角板的直角顶点 C 落在∠MON 的内部，三角板的两条直角边分别与 OM，ON 交于点 B，D。
（1）∠OBC + ∠ODC =_ °。
（2）如图②，若 DE 平分∠ODC，BF 平分∠CBM，
①求证：DE⊥BF。
②若 DG 平分∠NDC，试判断 BF 与 DG 的位置关系，并说明理由。
（第 10 题）

答案： （1）180
（2）①设∠ODC=2x，
∵DE平分∠ODC，
∴∠CDE=x。
∵∠OBC+∠ODC=180°（四边形内角和），
∴∠OBC=180°-2x。
∵∠OBC+∠CBM=180°（邻补角），
∴∠CBM=2x。
∵BF平分∠CBM，
∴∠CBF=x。
在△BCF中，∠BCD=90°，
∴∠CBF+∠BFC=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠CBF=∠CDE=x，
∴∠CDE+∠BFC=90°。
设BF与CD交于点F，∠BFC=∠DFH（对顶角），
∴∠CDE+∠DFH=90°。
在△DFH中，∠DHF=180°-(∠CDE+∠DFH)=90°，
∴DE⊥BF。
②BF//DG。
理由：
∵∠ODC+∠NDC=180°（邻补角），∠ODC=2x，
∴∠NDC=180°-2x。
∵DG平分∠NDC，
∴∠NDG=(180°-2x)/2=90°-x。
由①知∠CBF=x，∠BON=90°，
∴BF与ON夹角为90°-x（∠CBF=x，∠OBC=180°-2x，∠BFC=90°-x）。
∵DG与ON夹角为∠NDG=90°-x，
∴BF与DG同位角相等，
∴BF//DG。

11. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等。
（1）如图，一束光线 m 射到平面镜 a 上，被 a 反射到平面镜 b 上，又被 b 反射。若被 b 反射出的光线 n 与光线 m 平行，且∠1 = 50°，则∠2 =_ ，∠3 =_ 。
（2）在（1）中，若∠1 = 55°，则∠3 =_ ；若∠1 = 40°，则∠3 =_ 。
（3）由（1）（2），请你猜想：当两平面镜 a，b 的夹角∠3 =_ 时，可以使任何射到平面镜 a 上的光线 m，经过平面镜 a，b 的两次反射后，入射光线 m 与反射光线 n 平行。请说明理由。

答案： （1）100°，90°
（2）90°，90°
（3）90°
理由：设光线m与a的夹角为θ，反射光线与a的夹角为θ，入射角为90°-θ；反射光线与b的夹角为φ，反射光线n与b的夹角为φ，入射角为90°-φ。因m//n，有θ+φ+∠3=180°，且2(90°-θ)+2(90°-φ)=180°，化简得θ+φ=90°，故∠3=90°。