《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

11. 我们知道，任意一个正整数 $n$ 都可以进行这样的分解：$n=p×q$ ($p$，$q$ 是正整数，且 $p\leqslant q$)，在 $n$ 的所有这种分解中，如果 $p$，$q$ 两因数之差的绝对值最小，我们就称 $p×q$ 是 $n$ 的最佳分解，并规定：$F(n)=\frac{p}{q}$.例如 12 可以分解成 $1×12$，$2×6$ 或 $3×4$，因为 $12-1＞6-2＞4-3$，所以 $3×4$ 是 12 的最佳分解，所以 $F(12)=\frac{3}{4}$.
(1)如果一个正整数 $a$ 是另外一个正整数 $b$ 的平方，我们称正整数 $a$ 是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数 $m$，总有 $F(m)=1$.
(2)如果一个两位正整数 $t$，$t=10x+y$ ($1\leqslant x\leqslant y\leqslant9$，$x$，$y$ 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的正整数所得的差为 18，那么我们称这个数 $t$ 为“吉祥数”.求所有“吉祥数”中 $F(t)$ 的最大值.
（重庆市中考题）

答案： 11.
(1)对任意一个完全平方数$m$，设$m=n^{2}(n$为正整数$)$。$\because|n-n|=0$，$\therefore n× n$是$m$的最佳分解。
$\therefore$对任意一个完全平方数$m$，总有$F(m)=\frac{n}{n}=1$。
(2)设交换$t$的个位上的数与十位上的数得到的新数为$t'$，则$t'=10y+x$。$\because t$为“吉祥数”，$\therefore t'-t=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=18$，$\therefore y=x+2$。$\because1\leqslant x\leqslant y\leqslant9，x，y$为自然数，$\therefore$“吉祥数”有$13，24，35，46，57，68，79$。$\because F(13)=\frac{1}{13}，F(24)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}，F(35)=\frac{5}{7}$，$F(46)=\frac{2}{23}，F(57)=\frac{3}{19}，F(68)=\frac{4}{17}，F(79)=\frac{1}{79}$
$\therefore$所有“吉祥数”中$F(t)$的最大值为$\frac{5}{7}$。

12. 一条公交线路从起点到终点有 8 个站，一辆公交车从起点站出发，前 6 站上车 100 人，前 7 站下车 80 人，问：从前 6 站上车而在终点站下车的乘客有多少人?
（“希望杯”邀请赛试题）

答案： 12. 设前7站上车的乘客数量依次为$a_1，a_2，a_3，a_4，a_5，a_6，a_7$人，从第2站到第8站下车的乘客数量依次为$b_2，b_3，b_4，b_5，b_6，b_7，b_8$人，则$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+b_7+b_8$，又$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=100，b_2+b_3+b_4+b_5+b_6+b_7=80$，即$100+a_7=80+b_8，b_8-a_7=20$。