《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

1. 点 $ A $，$ B $ 分别是数 -3，$-\frac{1}{2}$ 在数轴上对应的点，使线段 $ AB $ 沿数轴向右移动为 $ A'B' $，且线段 $ A'B' $ 的中点对应的数是 3，则点 $ A' $ 对应的数是$\frac{7}{4}$，点 $ A $ 移动的距离是$\frac{19}{4}$。
(“希望杯”邀请赛试题)

答案： 1. $\frac{7}{4}$ $\frac{19}{4}$ AB长为$\left|(-\frac{1}{2})-(-3)\right|=\frac{5}{2}$,$A'$对应的数为$3-\frac{1}{2}×\frac{5}{2}=\frac{7}{4}$,点A移动的距离为$\frac{7}{4}-(-3)=\frac{19}{4}$.

2. 已知点 $ O $ 为数轴原点，点 $ A $ 在数轴上对应的数为 -4，点 $ B $ 在数轴上对应的数为 12。动点 $ M $，$ N $ 分别从点 $ O $，$ B $ 同时出发向左运动。点 $ M $，$ N $ 的速度分别为 $ v_1 $ 个单位长度/秒，$ v_2 $ 个单位长度/秒。若 $ M $ 在线段 $ AO $ 上，$ N $ 在线段 $ BO $ 上，$ P $ 是线段 $ AN $ 的中点，存在 $ v_1 $，$ v_2 $ 的比例关系，使 $ M $，$ N $ 运动到任一时刻时，总有 $ PM $ 为定值，则 $\frac{v_1}{v_2}$ 的值为$\frac{1}{2}$。

答案： 2. $\frac{1}{2}$点P表示的数为$\frac{-4 + 12 - v_2t}{2}=4-\frac{1}{2}v_2t$,$PM = \left|4-\frac{1}{2}v_2t + v_1t\right|=\left|4+(v_1-\frac{1}{2}v_2)t\right|$.因PM长度总为定值,故$v_1-\frac{1}{2}v_2 = 0$,得$\frac{v_1}{v_2}=\frac{1}{2}$.

3. 操作与探究 对数轴上的点 $ P $ 进行如下操作：先把点 $ P $ 表示的数乘以 $\frac{1}{3}$，再把所得数对应的点向右平移 1 个单位，得到点 $ P $ 的对应点 $ P' $。
点 $ A $，$ B $ 在数轴上，对线段 $ AB $ 上的每个点进行上述操作后得到线段 $ A'B' $，其中，点 $ A $，$ B $ 的对应点分别为 $ A' $，$ B' $。如图所示，若点 $ A $ 表示的数是 -3，则点 $ A' $ 表示的数是0；若点 $ B' $ 表示的数是 2，则点 $ B $ 表示的数是3；已知线段 $ AB $ 上的点 $ E $ 经过上述操作后得到的对应点 $ E' $ 与点 $ E $ 重合，则点 $ E $ 表示的数是$\frac{3}{2}$。
(北京市中考题)

答案： 3. 0 3 $\frac{3}{2}$设点E表示的数为$x$,则点$E'$表示的数为$\frac{1}{3}x + 1$,由$x=\frac{1}{3}x + 1$得$x=\frac{3}{2}$.

4. 如图，在数轴上 $ A $ 点表示数 $ a $，$ B $ 点表示数 $ b $，$ AB $ 表示 $ A $ 点和 $ B $ 点之间的距离，且 $ a $，$ b $ 满足 $ |a + 3| + (b + 3a)^2 = 0 $。点 $ P $ 从 $ A $ 点以 3 个单位每秒向右运动，点 $ Q $ 同时从 $ B $ 点以 2 个单位每秒向左运动，$ AP + BQ = 2PQ $，则运动时间 $ t $ 的值为$\frac{8}{5}$或$\frac{24}{5}$。

答案： 4. $\frac{8}{5}$或$\frac{24}{5}$点P运动后对应的数为$-3 + 3t$,点Q运动后对应的数为$9 - 2t$,$AP = 3t$,$BQ = 2t$,$PQ=\vert-3 + 3t-(9 - 2t)\vert=\vert12 - 5t\vert$,得$3t + 2t = 2\vert12 - 5t\vert$.

5. 数轴上有一动点 $ A $，从原点出发沿着数轴移动，每次只允许移动 1 个单位，经过 10 次移动，点 $ A $ 移动到距离原点 6 个单位处。问：点 $ A $ 的移动方法有多少种？
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）

答案： 5. 设10次移动中有$x$次向正方向移动1个单位,则有$10 - x$次向负方向移动1个单位.根据题意,移动结果有两种情况:或原点右侧6处,或原点左侧-6处.那么,结果在右侧的有:$x+(10 - x)×(-1)=6$,$x = 8$,即10次中有8次向正方向,2次向负方向移动,有45种.同理,结果在左侧的也有45种.因此,点A有90种不同的移动方法.