《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

例 5
已知关于$x$的方程$|x| = ax + 2$只有负数解，求$a$的取值范围.
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）
 

答案： 例 5中$a$的取值范围是$a\geq1$

1. 若$a$满足$|a - \frac{1}{2}| = \frac{3}{2}$，则$a$对应于图中数轴上的点可以是$A$，$B$，$C$三点中的点B.
(江苏省镇江市中考题)

答案： 1. B

2. 若$|x| = 3x + 1$，则$(64x^2 + 48x + 9)^{2019} = $当x＜0时，-x=3x+1,x=-\frac{1}{4}；当x\geq0时，x=3x+1,x=-\frac{1}{2}（舍去）。.
(广东省竞赛题)

答案： 2. 当x＜0时，$-x=3x+1,x=-\frac{1}{4}；$当$x\geq0$时，$x=3x+1,x=-\frac{1}{2}（$舍去）。

3. 若方程$|2000x + 2000| = 20×2000$的解分别为$x_1$，$x_2$，则$x_1 + x_2 = $-2.
(重庆市竞赛题)

答案： 3. -2 原方程化为|2000(x+1)|=20×2000，即|x+1|=20。

4. 使关于$x$的方程$|x| = ax + 1$同时有一个正根和一个负根的整数$a$的值是0.
(“希望杯”邀请赛试题)

答案： 4. 0 由条件可得-1＜a＜1，这样的整数只有a=0.

5. 若关于$x$的方程$||x - 2| - 1| = a$有三个整数解，则$a$的值为(B).

A.0
B.1
C.2
D.3
 

答案： 5. B 当a=1时，原方程化为|x-2|=2或|x-2|=0。

6. 请问满足$|2a + 7| + |2a - 1| = 8$的整数$a$有(D)个？

A.9
B.8
C.5
D.4
E.无穷多
 

答案： 6. D 原方程化为|2a-(-7)|+|2a-1|=8，由绝对值的几何意义得$-7\leq2a\leq1，$即$-\frac{7}{2}\leq a\leq\frac{1}{2}，$故整数a的值只能是-3，-2，-1，0.

7. 如果关于$x$的方程$|x + 1| + |x - 1| = a$有实根，那么$a$的取值范围是(D).

A.$a\geq0$
B.$a ＞ 0$
C.$a\geq1$
D.$a\geq2$
 

答案： 7. D |x+1|+|x-1|的最小值为2。