《2025年核心素养新讲堂七年级数学》

1. 已知$|x - 3| + |x + 2|$的最小值为$a$，$|x - 3| - |x + 2|$的最大值为$b$，则$ab =$25。

答案： 1.25 $a = 5,b = 5$.

2. 当$|x - 2| + |x - 3|$的值最小时，$|x - 2| + |x - 3| - |x - 1|$的值最大是0，最小是-1。
(“希望杯”邀请赛试题)

答案： 2.0 $- 1$ $2 \leq x \leq 3$,原式$= 2 - x$.

3. 若$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，$a_5$，$a_6$是$1 \sim 6$这六个自然数的一个排列，则$|a_1 - a_2| + |a_2 - a_3| + |a_3 - a_4| + |a_4 - a_5| + |a_5 - a_6| + |a_6 - a_1|$的最大值为18。
(北京市竞赛题)

答案： 3.18 去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，我们得到一正一负两个自然数，为了使和达到可能取到的最大值，必须且只须$1\sim3$取负，$4\sim6$取正，原式$= 2[(6 + 5 + 4) - (3 + 2 + 1)] = 18$.

4. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：$|x + 1|$的几何意义是数轴上表示数$x$的点与表示数$-1$的点的距离，$|x - 2|$的几何意义是数轴上表示数$x$的点与表示数$2$的点的距离。当$|x + 1| + |x - 2|$取得最小值时，$x$的取值范围是(C)。

A.$x \leq -1$
B.$x \leq -1$或$x \geq 2$
C.$-1 \leq x \leq 2$
D.$x \geq 2$
(贵州省中考题)

答案： 4.C

5. 某公司员工分别住在$A$，$B$，$C$三个住宅区，$A$区有$30$人，$B$区有$15$人，$C$区有$10$人，三个小区在一直线上，位置如图所示。公司的接送车打算在此间只设一停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程总和最小，那么停靠站的位置应在(A)。

A.$A$区
B.$B$区
C.$C$区
D.$A$，$B$两区之间
 

答案： 5.A 设$A,B,C$在数轴上对应的数分别为$a,b,c$，则路程总和为$30|x - a| + 15|x - b| + 10|x - c|$，因$n = 30 + 15 + 10 = 55$为奇数，所以在$\frac{n + 1}{2} = 28$处，即$A$区设停靠站.

6. 当$x$满足(A)时，$|1.5x - 0.5| + |2.5x - 0.5| + |3.5x - 0.5| + |4.5x - 0.5| + |5.5x - 0.5| + |6.5x - 0.5|$的值取得最小值。

A.$\frac{1}{11} \leq x \leq \frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{9} \leq x \leq \frac{1}{7}$
C.$\frac{1}{7} \leq x \leq \frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{13} \leq x \leq \frac{1}{11}$
 

答案： 6.A 原式$= 1.5\left|x - \frac{1}{3}\right| + 2.5\left|x - \frac{1}{5}\right| + 3.5\left|x - \frac{1}{7}\right| + 4.5\left|x - \frac{1}{9}\right| + 5.5\left|x - \frac{1}{11}\right| + 6.5\left|x - \frac{1}{13}\right| = \frac{1}{2}(3\left|x - \frac{1}{3}\right| + 5\left|x - \frac{1}{5}\right| + 7\left|x - \frac{1}{7}\right| + 9\left|x - \frac{1}{9}\right| + 11\left|x - \frac{1}{11}\right| + 13\left|x - \frac{1}{13}\right|)$，因$3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 48$，故当$\frac{1}{11} \leq x \leq \frac{1}{9}$时，和最小.