《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

6. 如图，某单位门前有四级台阶，每级台阶高为 $ 18 $ cm，宽为 $ 30 $ cm，现计划把台阶右侧改成斜坡，台阶的起点为点 $ A $，斜坡的起点为点 $ C $，准备设计斜坡 $ BC $ 的坡度为 $ i = 1:5 $，则 $ AC $ 的长度是(A)

A.$ 270 $ cm
B.$ 268 $ cm
C.$ 265 $ cm
D.$ 260 $ cm

答案： A

7. 如图，在坡度为 $ 1:2 $ 的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 $ 6 $ m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是3√5 m.

答案： 3√5

8. (2023·仙桃) 为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形 $ ABCD $，斜面 $ AB $ 的坡度 $ i = 3:4 $（指坡面的铅直高度 $ AF $ 与水平宽度 $ BF $ 的比）. 已知斜坡 $ CD $ 的长为 $ 20 $ 米， $ \angle C = 18° $，求斜坡 $ AB $ 的长. (结果精确到 $ 0.1 $ 米. 参考数据： $ \sin 18° \approx 0.31 $， $ \cos 18° \approx 0.95 $， $ \tan 18° \approx 0.32 $)

答案： 解:过点 D 作 DE⊥BC,垂足为 E. 由题意,得 AF⊥BC,DE=AF.
∵斜面 AB 的坡度 i=3:4,
∴AF/BF=3/4.
∴设 AF=3x 米,则 BF=4x 米. 在 Rt△ABF 中,AB=√(AF²+BF²)=√((3x)²+(4x)²)=5x(米),在 Rt△DEC 中,∠C=18°,CD=20 米,
∴DE=CD·sin18°≈20×0.31=6.2(米).
∴AF=DE=6.2 米.
∴3x=6.2,解得 x=31/15.
∴AB=5x≈10.3 米.
答:斜坡 AB 的长约为 10.3 米.

9. 数学兴趣小组到一座公园测量塔楼高度. 如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点 $ A $ 处测得塔楼顶端点 $ E $ 的仰角 $ \angle GAE = 50.2° $，台阶 $ AB $ 长 $ 26 $ 米，台阶坡面 $ AB $ 的坡度 $ i = 5:12 $，然后在点 $ B $ 处测得塔楼顶端点 $ E $ 的仰角 $ \angle EBF = 63.4° $，则塔顶到地面的高度 $ EF $ 约为多少米？（参考数据： $ \tan 50.2° \approx 1.20 $， $ \tan 63.4° \approx 2.00 $， $ \sin 50.2° \approx 0.77 $， $ \sin 63.4° \approx 0.89 $)

答案： 解:延长 EF 交 AG 于点 H,则 EH⊥AG,过点 B 作 BP⊥AG 于点 P,则四边形 BFHP 是矩形.
∴FB=PH,FH=PB. 由 i=5:12 可设 BP=5x,AP=12x.
∵PB²+PA²=AB²,
∴(5x)²+(12x)²=26²,解得 x=2 或-2(舍去).
∴PB=FH=10,AP=24. 设 EF=a,BF=b,
∵tan∠EBF=EF/BF,
∴a/b=2.
∴a=2b. ①
∵tan∠EAH=EH/AH=(EF+FH)/(AP+PH)=(EF+BP)/(AP+BF),
∴(a+10)/(24+b)=1.2. ② 由①②,得 a=47,b=23.5.
答:塔顶到地面的高度 EF 约为 47 米.