《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

10. 新考向 新定义问题 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫作这个三角形的完美分割线。
（1）如图1，在$△ABC$中，$CD$为角平分线，$∠A = 40^{\circ}$，$∠B = 60^{\circ}$，求证：$CD$为$△ABC$的完美分割线；
（2）如图2，在$△ABC$中，$AC = 2$，$BC = \sqrt{2}$，$CD$是$△ABC$的完美分割线，且$△ACD$是以$CD$为底边的等腰三角形，求完美分割线$CD$的长。

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答案： 解:
(1)证明:
∵∠A=40°,∠B=60°,
∴∠ACB=80°.
∴△ABC不是等腰三角形.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=1/2∠ACB=40°.
∴∠ACD=∠A=40°.
∴△ACD为等腰三角形.
∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,
∴△BCD∽△BAC.
∴CD是△ABC的完美分割线.
(2)由题意,得AC=AD=2,
∵△BCD∽△BAC,
∴BC/BA=BD/BC=CD/AC.
∵√2/(BD+2)=BD/√2,解得BD=√3-1(负值舍去).
∴CD/AC=BD/BC=(√3-1)/√2.
∴CD=(√3-1)/√2×2=√6-√2.

1. 如图，在$Rt△ABC$中，$AD$为斜边$BC$上的高，$∠ABC$的平分线$BE$交$AC$于点$E$，交$AD$于点$F$。求证：$\frac{AB}{BC} = \frac{AF}{CE}$。

答案： 证明:
∵在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,
∴∠C+∠CAD=90°.
∵∠CAD+∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠C.
∵∠ABC的平分线BE交AC于点E,
∴∠ABF=∠CBE.
∴△ABF∽△CBE.
∴AB/BC=AF/CE.

2. 如图，在$Rt△ABC$中有正方形$DEFG$，点$E$，$F$在斜边$BC$上，点$D$，$G$分别在边$AB$，$AC$上。求证：$EF^{2} = BE \cdot FC$。

答案： 证明:
∵四边形DEFG为正方形,
∴∠DEB=∠GFC=90°.又
∵∠B与∠C互余,∠FGC与∠C互余,
∴∠B=∠FGC.
∴△BED∽△GFC.
∴BE/DE=GF/FC,即DE·GF=BE·CF.又
∵DE=GF=EF,
∴EF²=BE·FC.