《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

11. 新考向 真实情境 (2024·南宁武鸣区期中) 江南的丝绸以其质地细腻、工艺精湛而闻名. 现有一种丝绸制成的丝巾，每条成本为 50 元，出于营销考虑，要求每条丝巾的售价不低于 60 元且不高于 110 元，销售一段时间发现，每天的销售数量 $ y $（条）与销售单价 $ x $（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：

(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式；
(2) 设该店每天销售丝巾所获得的利润为 $ w $ 元，请写出 $ w $ 与 $ x $ 的函数表达式；
(3) 将该商品的销售单价定为多少元时，才能使得当天所获利润最大？最大利润是多少？

答案： 11.解:
(1)设$y=kx+b(k≠0)$.把点$(70,80),(90,40)$代入,得$\left\{\begin{array}{l} 70k+b=80,\\ 90k+b=40,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-2,\\ b=220.\end{array}\right. \therefore y=-2x+220(60≤x≤110)$.
(2)由题意,得$w=(x-50)(-2x+220)$,即$w=-2x^{2}+320x-11000(60≤x≤110)$.
(3)由
(2)可知,$w=-2x^{2}+320x-11000=-2(x-80)^{2}+1800.\because -2＜0,60≤x≤110$,
∴当$x=80$时,w最大,$w_{最大}=1800.$
答:将该商品的销售单价定为80元时,才能使得当天所获利润最大,最大利润是1800元.

12. 新考向 推理能力 (2024·广西) 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于 $ x $ 的二次函数 $ y = x^{2} + 2ax + a - 3 $ 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1) 老师给出当 $ a = -4 $ 时，求二次函数 $ y = x^{2} + 2ax + a - 3 $ 的最小值.
① 请写出对应的函数表达式；
② 求当 $ x $ 取何值时，函数 $ y $ 有最小值，并写出此时的 $ y $ 值；
【举一反三】老师给出更多 $ a $ 的值，同学们求出对应的函数在 $ x $ 取何值时，$ y $ 的最小值. 记录结果，并整理成下表：

注：$ * $ 为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了 $ a $ 的值后，我们只要取 $ x = -a $，就能得到 $ y $ 的最小值.”
乙同学：“我发现，$ y $ 的最小值随 $ a $ 的变化而变化，当 $ a $ 由小变大时，$ y $ 的最小值先增大后减小，所以我猜想 $ y $ 的最小值中存在最大值.”
(2) 请结合函数表达式 $ y = x^{2} + 2ax + a - 3 $，请判断甲同学的说法是否合理，并说明理由；
(3) 你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，请说明理由.

答案： 12.解:
(1)①当$a=-4$时,$y=x^{2}-8x-7$.②由题意,得$y=x^{2}-8x-7=(x-4)^{2}-23.\because 1＞0$,
∴当$x=4$时,函数y取得最小值,此时的y值为-23.
(2)甲同学的说法合理.理由:$\because 1＞0$,且该二次函数图象的对称轴为直线$x=-\frac {2a}{2×1}=-a$,
∴当$x=-a$时,y取得最小值.故甲同学的说法合理.
(3)乙同学的猜想正确.由
(2)得,当$x=-a$时,y取得最小值,最小值为$-a^{2}+a-3.\because -a^{2}+a-3=-(a-\frac {1}{2})^{2}-\frac {11}{4}$,且$-1＜0$,
∴当$a=\frac {1}{2}$时,y的最小值中存在最大值,最大值为$-\frac {11}{4}.$