《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

10. (2024·连云港) 下列网格中各个小正方形的边长均为 $1$，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为(D)


A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁

答案： 10.D

11. 图 $2$ 中的矩形边长分别是由图 $1$ 中的矩形边长 $4$ 拉长 $2x$，边长 $5$ 拉长 $x$ 得到的，若两个矩形相似(不全等)，则 $x$ 的值是(A)


A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： 11.A

12. 新考向 真实情境 书籍开本指书刊幅面的规格大小。如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到 $2$ 开纸，再对折得到 $4$ 开纸，以此类推，可以得到 $8$ 开纸、$16$ 开纸 $\cdots \cdots$ 这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是 $16$ 开本，有些图书是 $32$ 开本，$16$ 开的纸和 $32$ 开的纸的相似比是$\sqrt{2}:1$。

答案： 12.$\sqrt{2}:1$

13. 已知长 $AB = 30$，宽 $BC = 20$ 的矩形黑板 $ABCD$。
(1) 如图 $1$，若矩形黑板 $ABCD$ 四周有宽为 $1$ 的边框区域，图中所形成的两个矩形 $ABCD$ 与 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 相似吗？请说明理由。
(2) 如图 $2$，当 $x$ 为多少时，图中的矩形 $ABCD$ 与矩形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 相似？
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答案： 13.解:
(1)不相似.理由如下:AB=30,A'B'=28,BC=20,B'C'=18,而$\frac{28}{30}\neq\frac{18}{20}$,$\frac{28}{20}\neq\frac{18}{30}$,故矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似.
(2)若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似,则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$,即$\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2}{20}$或$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2}{30}$,解得x=1.5或9.故当x=1.5或9时,矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似.

14. 如图，$E$ 是菱形 $ABCD$ 对角线 $CA$ 的延长线上任意一点，以线段 $AE$ 为边作一个菱形 $AEFG$，且菱形 $AEFG \backsim$ 菱形 $ABCD$，相似比是 $\sqrt{3}:2$，连接 $EB$，$GD$。
(1) 求证：$EB = GD$；
(2) 若 $\angle DAB = 60^{\circ}$，$AB = 2$，求 $GD$ 的长。

答案： 14.解:
(1)证明:
∵菱形AEFG∽菱形ABCD,
∴AE=AG,AB=AD,∠EAG=∠BAD.
∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB,即∠EAB=∠GAD.
∴△AEB≌△AGD(SAS).
∴EB=GD.
(2)连接BD,交AC于点P,则BP⊥AC.
∵∠DAB=60°,
∴∠PAB=30°.
∵菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是$\sqrt{3}:2$,AB=2,
∴AE=$\sqrt{3}$,BP=$\frac{1}{2}AB=1$.
∴AP=$\sqrt{AB^{2}-BP^{2}}=\sqrt{3}$.
∴EP=2$\sqrt{3}$.
∴EB=$\sqrt{EP^{2}+BP^{2}}=\sqrt{13}$.
∴GD=$\sqrt{13}$.