《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

10. 如果 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$(其中 $ b ＞ 0 $，$ d ＞ 0 $)，那么下列式子中不正确的是(D)

A.$\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d}$
B.$\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d}$
C.$\frac{a + c}{b + d}=\frac{c}{d}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{d}{c}$

答案： D

11. 若 $ a:b = 3:4 $，且 $ a + b = 14 $，则 $ 2a - b $ 的值是(A)

A.$ 4 $
B.$ 2 $
C.$ 20 $
D.$ 14 $

答案： A

12. 若 $ x:y = 1:3 $，$ 2y = 3z $，则 $\frac{2x + y}{z - y}$ 的值是(A)

A.$ -5 $
B.$-\frac{10}{3}$
C.$\frac{10}{3}$
D.$ 5 $

答案： A

13. 已知 $ 5a = 4b $，求下列各式的值：
（1）$\frac{a - b}{b}$；（2）$\frac{a + b}{b}$；（3）$\frac{a - b}{a + b}$。

答案： 解：由$5a=4b$，得$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$. $\therefore$（1）$\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1=-\frac{1}{5}$.（2）$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=\frac{9}{5}$.（3）由（1）÷（2），得$\frac{a-b}{a+b}=\frac{-\frac{1}{5}}{\frac{9}{5}}=-\frac{1}{9}$.

14. 已知 $\frac{b}{a}=\frac{c}{d}\neq1$，求证：$\frac{b + a}{b - a}=\frac{c + d}{c - d}$。

答案： 证明：设$\frac{b}{a}=\frac{c}{d}=k(k\neq1)$，则$b=ak$，$c=dk$. 将其代入左右两边可得：左边$=\frac{ak+a}{ak-a}=\frac{k+1}{k-1}$，右边$=\frac{dk+d}{dk-d}=\frac{k+1}{k-1}$. $\because$左边=右边，$\therefore\frac{b+a}{b-a}=\frac{c+d}{c-d}$.

15. 新考向 阅读理解【知识背景】
求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”。
例：已知 $\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$，求 $\frac{x - 2y + 3z}{x - 4y + 5z}$ 的值。
方法 1：设 $\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=k$。
则 $ x = 2k $，$ y = 5k $，$ z = 7k $。
所以 $\frac{x - 2y + 3z}{x - 4y + 5z}=\frac{2k - 10k + 21k}{2k - 20k + 35k}=\frac{13k}{17k}=\frac{13}{17}$。
方法 2：由 $\frac{x}{2}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$，得 $ y = \frac{5}{2}x $，$ z = \frac{7}{2}x $。
代入 $\frac{x - 2y + 3z}{x - 4y + 5z}$，得
$\frac{x - 2y + 3z}{x - 4y + 5z}=\frac{x - 5x + \frac{21}{2}x}{x - 10x + \frac{35}{2}x}=\frac{\frac{13}{2}x}{\frac{17}{2}x}=\frac{13}{17}$。
方法 3：取 $ x = 2 $，$ y = 5 $，$ z = 7 $，
则 $\frac{x - 2y + 3z}{x - 4y + 5z}=\frac{2 - 10 + 21}{2 - 20 + 35}=\frac{13}{17}$。
【知识理解】
参考上面的材料解答下列问题：已知 $ a $，$ b $，$ c $ 为 $\triangle ABC$ 的三条边，且 $ (a - c):(a + b):(c - b) = -2:7:1 $，$ a + b + c = 24 $。
（1）求 $ a $，$ b $，$ c $ 的值；
（2）判断 $\triangle ABC$ 的形状。

答案： 解：（1）设$a-c=-2k$，$a+b=7k$，$c-b=k$，则$\begin{cases}a-c=-2k,\\a+b=7k,\\c-b=k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3k,\\b=4k,\\c=5k.\end{cases}$ $\because a+b+c=24$，$\therefore3k+4k+5k=24$. $\therefore k=2$. $\therefore a=6$，$b=8$，$c=10$.（2）$\because a^2+b^2=100$，$c^2=100$，$\therefore a^2+b^2=c^2$. $\therefore\triangle ABC$是直角三角形.