《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

6. 如图，在边长为 1 的正方形网格中，点$A$，$B$，$C$，$D$，$E$都在小正方形顶点的位置上，连接$AB$，$CD$相交于点$P$，根据图中添加的辅助线(虚线)，可以得到$\cos\angle BPC$的值为(B)


A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$2 - \sqrt{2}$

答案： B

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 4$，将$\triangle ABC$折叠，使点$A$落在边$BC$上的点$D$处，$EF$为折痕。若$AE = 3$，则$\sin\angle BFD$的值为$\frac{1}{3}$。

答案： $\frac{1}{3}$

8. 如图，点$E$在正方形$ABCD$的边$AB$上，连接$DE$，过点$C$作$CF\perp DE$于点$F$。若$E$是$AB$的中点，设$\angle DCF = \alpha$，求$\sin\alpha$的值。

答案： 解:在正方形$ABCD$中,$\angle ADC=90^{\circ}$.$\because CF\perp DE$,$\therefore \angle CFD=90^{\circ}$.$\because \angle ADE+\angle CDE=\angle ADC=90^{\circ}$,$\angle DCF+\angle CDE=90^{\circ}$,$\therefore \angle ADE=\angle DCF=\alpha$.设正方形$ABCD$的边长为$2a$.$\because E$是$AB$的中点,$\therefore AE=\frac{1}{2}×2a=a$.在$Rt\triangle ADE$中,$DE=\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=\sqrt{5}a$,$\therefore \sin\angle ADE=\frac{AE}{DE}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.$\therefore \sin\alpha=\sin\angle ADE=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

9. (2022·贵港)如图，在$4×4$网格正方形中，每个小正方形的边长为 1，顶点为格点。若$\triangle ABC$的顶点均是格点，则$\cos\angle BAC$的值是(C)

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{10}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： C

10. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$。以点$A$为圆心，$BC$的长为半径画弧，交$AB$于点$D$，分别以点$A$，$D$为圆心，$AB$的长为半径画弧，两弧交于点$E$，连接$AE$，$DE$，则$\angle EAD$的余弦值是(B)

A.$\frac{\sqrt{3}}{12}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： B

11. 如图，点$P$在等边三角形$ABC$的内部，且$PC = 6$，$PA = 8$，$PB = 10$，将线段$PC$绕点$C$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$P'C$，连接$AP'$，则$\tan\angle PAP'$的值为$\frac{3}{4}$。

答案： $\frac{3}{4}$