《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

11. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AD\perp BC$于点$D$，则下列结论中不正确的是(C)

A.$\sin B = \frac{AD}{AB}$
B.$\sin B = \frac{AC}{BC}$
C.$\sin B = \frac{AD}{AC}$
D.$\sin B = \frac{CD}{AC}$

答案： C

12. (2023·陕西)如图，在$6×7$的网格中，每个小正方形的边长均为$1$。若点$A$，$B$，$C$都在格点上，则$\sin B$的值为(A)

A.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{4}$

答案： A

13. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$BC = 3$，$AC = \sqrt{15}$，$AB$的垂直平分线$ED$交$BC$的延长线于点$D$，垂足为$E$，则$\sin\angle CAD =$(A)


A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{\sqrt{15}}{4}$
D.$\frac{\sqrt{15}}{15}$

答案： A

14. 计算：$\sqrt{16} + (4 - \pi)^0 + (-1)^{-1} - 6\sin 30^{\circ}$。

答案： 解:原式$=4+1-1-6×\frac{1}{2}=4+1-1-3=1$.

15. （1）如图，在$□ ABCD$中，连接$BD$，$AD\perp BD$，$AB = 4$，$\sin A = \frac{3}{4}$，求$□ ABCD$的面积；

（2）如图，等腰三角形的顶角为$120^{\circ}$，腰长为$2$，求它的底边长。

答案： 解:
(1)$\because AD\perp BD$,$\therefore$在$Rt\triangle ABD$中,$\sin A=\frac{3}{4}=\frac{BD}{AB}$.$\because AB=4$,$\therefore BD=3$.由勾股定理,得$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$,$\therefore S_{□ ABCD}=AD\cdot DB=\sqrt{7}×3=3\sqrt{7}$.
(2)过点A作$AD\perp BC$于点D,则$\angle ADB=90^{\circ}$,$\angle BAD=\angle CAD=60^{\circ}$,$BD=DC$.$\therefore \angle B=30^{\circ}$.$\therefore \sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$.$\because AB=2$,$\therefore AD=1$.由勾股定理,得$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$.$\therefore BC=2\sqrt{3}$.

16. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 6$，$BC = 10$，将矩形$ABCD$沿$BE$折叠，点$A$落在$A'$处。若$EA'$的延长线恰好过点$C$，则$\sin\angle ABE$的值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$。

答案： $\frac{\sqrt{10}}{10}$