《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

11. 如图所示的是一座抛物线形的拱桥，其形状可以用抛物线 $ y = -x^{2} $ 来描述。
(1) 当水面离桥拱顶部的距离为 2 米时，水面的宽为多少米？
(2) 当水面的宽为 4 米时，水面离桥拱顶部的距离为多少米？

答案：
(1)由题意,得 $ y=-2 $,
∴ $ -2=-x^{2} $,解得 $ x=\pm \sqrt{2} $.
∴ $ 2|x|=2\sqrt{2} $.
∴此时水面的宽为 $ 2\sqrt{2} $米.
(2)
∵水面的宽为4米,
∴ $ x=2 $或 $ x=-2 $.
∴ $ y=-x^{2}=-4 $.
∴ $ |y|=4 $.
∴此时水面离桥拱顶部的距离为4米.

12. 已知点 $ A(-1, m) $，$ B(1, m) $，$ C(2, m - n)(n ＞ 0) $ 在同一个函数的图象上，这个函数可能是(D)

A.$ y = x $
B.$ y = -\frac{2}{x} $
C.$ y = x^{2} $
D.$ y = -x^{2} $

答案： D

13. 已知点 $ A(-1, y_{1}) $，$ B(-\sqrt{2}, y_{2}) $，$ C(-2, y_{3}) $ 在函数 $ y = -\sqrt{2}x^{2} $ 的图象上，则 $ y_{1} $，$ y_{2} $，$ y_{3} $ 的大小关系是(A)

A.$ y_{1} ＞ y_{2} ＞ y_{3} $
B.$ y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2} $
C.$ y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1} $
D.$ y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3} $

答案： A

14. 函数 $ y = \frac{a}{x} $ 与 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D)

答案： D

15. 【整体思想】如图，正方形的边长为 4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数 $ y = \frac{1}{3}x^{2} $ 与 $ y = -\frac{1}{3}x^{2} $ 的图象，则阴影部分的面积是 。8

答案： 8

16. 关于抛物线 $ y = -x^{2} $，给出下列说法：
① 抛物线开口向下，顶点是原点。
② 当 $ x ＞ 10 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
③ 当 $ -1 ＜ x ＜ 2 $ 时，$ -4 ＜ y ＜ -1 $。
④ 若 $ (m, p) $，$ (n, p) $ 是该抛物线上两个不同的点，则 $ m + n = 0 $。
其中正确的说法有①②④（填序号）。

答案： ①②④

17. 已知 $ y = (k + 2)x^{k^{2} + k - 4} $ 是二次函数，且当 $ x ＜ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 如果点 $ P(m, n) $ 是此二次函数的图象上一点，若 $ -2 \leq m \leq 1 $，则 $ n $ 的取值范围为$ -4\leqslant n\leqslant 0 $（直接写出结果）。

答案：
(1)根据题意,得 $ k+2\neq 0 $且 $ k^{2}+k-4=2 $,解得 $ k_{1}=-3 $,$ k_{2}=2 $.
∵当 $ x＜0 $时,y随x的增大而增大,
∴二次函数的图象的开口向下,即 $ k+2＜0 $,解得 $ k＜-2 $.
∴ $ k=-3 $.
(2) $ -4\leqslant n\leqslant 0 $

18. 如图，二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图象经过点 $ A(1, -1) $。
【初步尝试】
(1) 这个函数的表达式为 ；$ y=-x^{2} $
【深入探究】
(2) 抛物线上与点 $ A $ 关于 $ y $ 轴对称的点 $ B $ 坐标是 ，$ \triangle$ (-1,-1) $AOB $ 的面积是 ；1
【拓展应用】
(3) 在(2)的条件下，抛物线上一点 $ C $ 满足 $ S_{\triangle ABC} = 2S_{\triangle AOB} $，求点 $ C $ 的坐标。

答案：
(1) $ y=-x^{2} $
(2) $ (-1,-1) $ 1
(3)设点C的坐标为$ (m,n) $,
∵ $ S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle AOB} $,
∴ $ \frac{1}{2}× 2× |n-(-1)|=2× 1 $,即 $ |n+1|=2 $.
∴ $ n=1 $或 $ n=-3 $.当 $ n=1 $时,$ 1=-m^{2} $,无解;当 $ n=-3 $时,$ -3=-m^{2} $,解得 $ m=\pm \sqrt{3} $,
∴点C的坐标为$ (\sqrt{3},-3) $或$ (-\sqrt{3},-3) $.