《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

5. (2023·贵港桂平市期末)如图,已知 $CD$ 是 $\odot O$ 的直径,$AC\perp CD$,垂足为 $C$,弦 $DE// OA$,直线 $AE$,$CD$ 相交于点 $B$. 求证:直线 $AB$ 是 $\odot O$ 的切线.

答案： 证明:连接 OE.
∵ DE//OA,
∴ ∠COA=∠ODE,∠EOA=∠OED.
∵ OD=OE,
∴ ∠ODE=∠OED.
∴ ∠COA=∠EOA. 又
∵ OC=OE,OA=OA,
∴ △OAC≌△OAE(SAS).
∴ ∠OEA=∠OCA=90°.
∴ OE⊥AB. 又
∵ OE 为⊙O 的半径,
∴ 直线 AB 是⊙O 的切线.

6. (教材九下 P76 习题 T9)如图,已知 $\odot O$ 的直径为 $6\mathrm{cm}$,$OA = OB = 5\mathrm{cm}$,线段 $AB$ 经过 $\odot O$ 上一点,长为 $8\mathrm{cm}$. 求证:$AB$ 所在的直线与 $\odot O$ 相切.

答案： 证明:过点 O 作 OC⊥AB 于点 C.
∵ OA=OB=5 cm,AB=8 cm,
∴ AC=BC=4 cm.
∴ OC=$\sqrt {OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt {5^{2}-4^{2}}=3$(cm).
∵ ⊙O 的直径为 6 cm,
∴ ⊙O 的半径为 3 cm.
∴ 点 C 在⊙O 上,即 OC 为⊙O 的半径.又
∵ OC⊥AB,
∴ AB 所在的直线与⊙O 相切.

7. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$,$E$ 为 $AB$ 上的一点,$DE = DC$,以点 $D$ 为圆心,$DB$ 的长为半径作 $\odot D$,$AB = 5$,$EB = 3$.
(1)求证:$AC$ 是 $\odot D$ 的切线;
(2)求线段 $AC$ 的长.

答案： 解:
(1)证明:过点 D 作 DF⊥AC 于点 F.
∵ ∠ABC=90°,
∴ AB⊥BC.
∵ AD平分∠BAC,DF⊥AC,
∴ BD=DF.
∴ 点 F 在⊙D 上.
∴ AC 是⊙D 的切线.
(2)在 Rt△BDE 和 Rt△FDC 中,
∵ BD=DF,DE=DC,
∴ Rt△BDE≌Rt△FDC(HL).
∴ EB=CF=3.
∵ AD 平分∠BAC,DB⊥AB, DF⊥AC,
∴ DB=DF. 在 Rt△ABD 和 Rt△AFD 中,$\left\{\begin{array}{l} AD=AD,\\ DB=DF,\end{array}\right. $
∴ Rt△ABD≌Rt△AFD(HL).
∴ AB=AF=5.
∴ AB+EB=AF+FC,即 AB+EB=AC.
∴ AC=5+3=8.