《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 某涵洞的截面是抛物线形状，在如图所示的平面直角坐标系中，涵洞对应的抛物线的表达式为$y = -\frac{1}{4}x^{2}$。当涵洞水面宽$AB$为16m时，涵洞顶点$O$至水面的距离为(C)

A.$-6m$
B.$12m$
C.$16m$
D.$24m$

答案： 1.C

2. 如图所示的是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为$O$，$B$，以点$O$为原点，水平直线$OB$为$x$轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线$y = -\frac{1}{400}(x - 80)^{2}+16$，桥拱与桥墩$AC$的交点$C$恰好在水面，有$AC\perp x$轴。若$OA = 10$米，则桥面离水面的高度$AC$为$\frac{17}{4}$米。

答案： 2.$\frac{17}{4}$

3. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物（如图），大门地面宽$AB = 4m$，顶部$C$离地面高为$4.4m$。
（1）以$AB$所在直线为$x$轴，抛物线的对称轴为$y$轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；

（2）现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面$2.8m$，装货宽度为$2.4m$，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门。

答案： 3.解:
(1)点A,B,C的坐标分别为A(-2,0),B(2,0),C(0,4.4).设抛物线的表达式为$y=a(x-2)(x+2)$.将点C(0,4.4)代入,得$a(0-2)(0+2)=4.4$,解得$a=-1.1$,$\therefore y=-1.1(x-2)(x+2)=-1.1x^{2}+4.4$.故该抛物线的表达式为$y=-1.1x^{2}+4.4$.
(2)$\because$货物顶点距地面2.8m,装货宽度为2.4,$\therefore$只要判断点(-1.2,2.8)或点(1.2,2.8)与抛物线的位置关系即可.将$x=1.2$代入抛物线,得$y=2.816＞2.8$,$\therefore$点(-1.2,2.8)和点(1.2,2.8)都在抛物线内.$\therefore$这辆汽车能顺利通过大门.

4. (教材九下P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为$16m$，则所围成矩形$ABCD$的最大面积是64$m^{2}$。

答案： 4.64

5. 如图，在等腰直角三角形$ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$AC = 4cm$，$D$，$E$分别是边$BC$，$AC$上的点，且$DE// AB$，则$S_{\triangle BDE}$的最大值是$2\ cm^{2}$。

答案： 5.$2\ cm^{2}$

6. 如图，在一幅长$80cm$、宽$50cm$的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是$ycm^{2}$，设金色纸边的宽为$xcm$，要求纸边的宽度不得少于$1cm$，同时不得超过$2cm$。
(1)$y$关于$x$的函数表达式为$y=4x^{2}+260x+4000(1\leqslant x\leqslant 2)$(写出自变量的取值范围)；
(2)当金色纸边的宽为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积。

答案： 6.解:
(1)$y=4x^{2}+260x+4000(1\leqslant x\leqslant 2)$
(2)$\because$二次函数$y=4x^{2}+260x+4000$的对称轴为直线$x=-\frac{65}{2}$,$\therefore$当$1\leqslant x\leqslant 2$时,y随x的增大而增大.$\therefore$当$x=2$时,y取最大值,最大值为4536.
答:当金色纸边的宽为2cm时,这幅挂图的面积最大,最大面积为$4536\ cm^{2}$.