《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，BC=30 cm，AD=20 cm。求这个正方形的边长。

【母题分析】
由正方形的性质可知，HG//BC，得到△AHG∽△ABC，根据相似三角形的性质，得$\frac{AK}{AD}=\frac{HG}{BC}$。设正方形的边长为x cm，则AK=(20−x)cm，HG=x cm，代入求出x的值即可。

答案： 解:
∵四边形 EFGH 为正方形,
∴HG//BC.
∴△AHG∽△ABC.
∴$\frac{AK}{AD}=\frac{HG}{BC}$.设正方形的边长为 x cm.则 AK=(20-x)cm,HG=x cm.
∴$\frac{20-x}{20}=\frac{x}{30}$,解得 x=12.
∴正方形 EFGH 的边长为 12 cm.

1. 如图，△ABC为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上。若BC=60 cm，AD=40 cm，则这个正方形的面积是576 cm²。

答案： 576 cm²

2. 如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，AC上。如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是(A)

A.$\frac{12}{7}$
B.$\frac{12}{11}$
C.$\frac{12}{13}$
D.$\frac{7}{12}$

答案： A

3. 如图，在△ABC中，BC=30，高AD=18，作矩形PQRS，使得点P，S分别落在边AB，AC上，点Q，R落在边BC上，AD交PS于点M。
(1)当PS=2PQ时，求PQ的长；
(2)当PQ的长为何值时，矩形PQRS的面积为120？

答案：
(1)设 PQ=x,则 PS=2x.
∵在矩形 PQRS 中,PS//QR,
∴△APS∽△ABC.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,AD⊥PS.
∴四边形 PMDQ 是矩形.
∴MD=PQ=x.
∴AM=18-x.由△APS∽△ABC 可得,$\frac{PS}{BC}=\frac{AM}{AD}$,
∴$\frac{2x}{30}=\frac{18-x}{18}$,解得$x=\frac{90}{11}$.
∴$PQ=\frac{90}{11}$.
(2)设 PQ=m,则 AM=18-m.由
(1)知,$\frac{PS}{BC}=\frac{AM}{AD}$,
∴$PS=\frac{AM\cdot BC}{AD}=\frac{5(18-m)}{3}$.
∵矩形 PQRS 的面积为 120,
∴$m\cdot \frac{5(18-m)}{3}=120$,解得$m_1=12$,$m_2=6$.
∴当 PQ 的长为 12 或 6 时,矩形 PQRS 的面积为 120.