《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

9. (2024·广安)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m + 1)x^{2}-2x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ m $ 的取值范围是(A)

A.$ m ＜ 0 $ 且 $ m \neq -1 $
B.$ m \geq 0 $
C.$ m \leq 0 $ 且 $ m \neq -1 $
D.$ m ＜ 0 $

答案： A

10. 若关于 $ x $ 的方程 $ kx^{2}-3x - \frac{9}{4}=0 $ 有实数根，则实数 $ k $ 的取值范围是k≥-1.

答案： k≥-1

11. (2024·南宁一模)关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+mx - 4 = 0 $ 的根的情况是(A)

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

12. (2024·贵港平南县期中)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}-x - \frac{1}{4}=0 $ 有两个相等的实数根，则点 $ P(a - 2,-a + 3) $ 在(B)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： B

13. 新考向 推理能力 下列选项中，能使关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}-4x + c = 0 $($ a $，$ c $ 为常数，且 $ a \neq 0 $)一定有实数根的是(D)

A.$ a ＞ 0 $
B.$ a ＜ 0 $
C.$ c ＞ 0 $
D.$ c = 0 $

答案： D

14. (2024·贵港桂平市浔郡中学月考)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m - 1)x^{2}+(m - 4)x - 3 = 0 $（$ m $ 为实数且 $ m \neq 1 $）.
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数 $ m $ 的值.

答案： 解:
(1)证明:依题意,得Δ=(m-4)²-4(m-1)×(-3)=m²-8m+16+12m-12=m²+4m+4=(m+2)².
∵(m+2)²≥0,
∴此方程总有两个实数根.
(2)
∵(x+1)[(m-1)x-3]=0,
∴x₁=-1,x₂=3/(m-1).
∵方程的两个实数根都是整数,且m是正整数,
∴m-1=1或m-1=3.
∴m=2或m=4.

15. 如图，一次函数 $ y = x + 5 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象相交于 $ A(-1,m) $，$ B $ 两点.
(1)反比例函数的表达式为；
(2)将一次函数 $ y = x + 5 $ 的图象沿 $ y $ 轴向下平移 $ b(b ＞ 0) $ 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象有且只有一个交点，求 $ b $ 的值.

答案： 解:
(1)y=-4/x
(2)
∵一次函数y=x+5的图象沿y轴向下平移b(b＞0)个单位长度,
∴y=x+5-b.令x+5-b=-4/x.
∴x²+(5-b)x+4=0.
∵平移后的图象与反比例函数y=k/x的图象有且只有一个交点,
∴Δ=(5-b)²-16=0,解得b=9或b=1.