《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

10. (2024·凉山州)若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 2)x^{2}+x + a^{2}-4 = 0$ 的一个根是 $x = 0$，则 $a$ 的值为(A)

A.2
B.- 2
C.2或 - 2
D.$\frac{1}{2}$

答案： A

11. 若方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 中，$a,b,c$ 满足 $a + b + c = 0$ 和 $a - b + c = 0$，则方程的根是$x_{1}=1$,$x_{2}=-1$.

答案： $x_{1}=1$,$x_{2}=-1$

12. 【整体思想】若 $x = m$ 是方程 $2x^{2}-3x - 1 = 0$ 的一个根，则 $6m^{2}-9m + 2025$ 的值为2028.

答案： 2028

13. 新考向 新定义问题 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为 $a※b=a^{2}-b^{2}$，根据这个规则，方程 $(x + 2)※5 = 0$ 的解为$x_{1}=3$,$x_{2}=-7$.

答案： $x_{1}=3$,$x_{2}=-7$

14. 解下列方程：
(1) $36 - 3x^{2}=0$；
(2) $(2x + 3)^{2}-25 = 0$；
(3) $(x - 3)^{2}=(2x + 1)^{2}$.

答案： 解:
(1)原方程可化为$x^{2}=12$.根据平方根的意义,得$x=2\sqrt{3}$或$x=-2\sqrt{3}$.因此,原方程的根为$x_{1}=2\sqrt{3}$,$x_{2}=-2\sqrt{3}$.
(2)移项,得$(2x+3)^{2}=25$.根据平方根的意义,得$2x+3=5$或$2x+3=-5$.因此,原方程的根为$x_{1}=1$,$x_{2}=-4$.
(3)根据平方根的意义,得$x-3=2x+1$或$x-3=-(2x+1)$.因此,原方程的根为$x_{1}=-4$,$x_{2}=\dfrac{2}{3}$.

15. 自由下落的物体的高度 $h$（米）与下落的时间 $t$（秒）的关系为 $h = 4.9t^{2}$. 现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？

答案： 解:当$h=19.6$时,$4.9t^{2}=19.6$.$\therefore t_{1}=2$,$t_{2}=-2$(不合题意,舍去).$\therefore t=2$.
答:到达地面需要2秒.

16. 探究与运用
【问题背景】
我们把形如 $x^{2}=a$(其中 $a$ 是常数且 $a\geqslant0$)的方程叫作 $x$ 的完全平方方程.
例如：$x^{2}=9$，$(3x - 2)^{2}=25$，$(\frac{x + 1}{3}-x)^{2}=4$……都是完全平方方程. 那么如何求解完全平方方程呢？我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解.
例如：解完全平方方程 $x^{2}=9$ 的思路：由 $3^{2}=9$，$(-3)^{2}=9$ 可得，$x_{1}=3,x_{2}=-3$.
【问题解决】
(1) 解方程：$(3x - 2)^{2}=25$.
解题思路：我们只要把 $3x - 2$ 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了.
解：根据乘方运算，得
$3x - 2 = 5$ 或 $3x - 2=$-5，
解得 $x_{1}=\frac{7}{3},x_{2}=-1$.
【灵活运用】
(2) 解方程：$(\frac{x + 1}{3}-x)^{2}=4$.

答案： 解:
(1)$-5$
(2)根据乘方运算,得$\dfrac{x + 1}{3}-x=2$或$\dfrac{x + 1}{3}-x=-2$,解得$x_{1}=-\dfrac{5}{2}$,$x_{2}=\dfrac{7}{2}$.