《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

11. 在方程 $x + 3 = 0,x^{2}+3x - 5 = 0,x^{2}+3x=(x + 1)^{2},\frac{1}{x^{2}}+2x = 3,x^{2}+3y - 2 = 0$ 中,一元二次方程的个数为 (B)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： B

12. (教材九上 P29 习题 T6 变式)如图,有一张矩形纸片,长 10 cm,宽 6 cm,在它的四角各剪去一个同样的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是 $32cm^{2}$,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是 $x$ cm,根据题意可列方程为 (B)

A.$10×6 - 4×6x = 32$
B.$(10 - 2x)(6 - 2x)=32$
C.$(10 - x)(6 - x)=32$
D.$10×6 - 4x^{2}=32$

答案： B

13. 根据下列问题,列出关于 $x$ 的一元二次方程,并将其化为一般形式,然后写出二次项系数、一次项系数及常数项.
(1) 新考向 数学文化 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题:“今有户高多于广六尺,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?”大意是:有一扇矩形门的高比宽多 6 尺,门的对角线长为 1 丈(1 丈=10 尺),门的宽为 $x$ 尺;
(2)某校准备组织一次篮球赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,一共进行 28 场比赛,其中共有 $x$ 个队参赛.

答案：
(1)根据题意,得$x^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}$,化为一般形式,得$2x^{2}+12x-64=0$.其二次项系数为2,一次项系数为12,常数项为-64.
(2)根据题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=28$,化为一般形式,得$\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-28=0$,其二次项系数为$\frac{1}{2}$,一次项系数为$-\frac{1}{2}$,常数项为-28.

14. 已知关于 $x$ 的方程 $(k^{2}-1)x^{2}+(k + 1)x-2 = 0$.
(1)当 $k$ 取何值时,此方程为一元一次方程?并求出此方程的根;
(2)当 $k$ 取何值时,此方程为一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.

答案：
(1)
∵方程为一元一次方程,
∴$\left\{\begin{array}{l} k^{2}-1=0,\\ k+1≠0,\end{array}\right. $解得$k=1$.
∴方程为$2x-2=0$.
∴$x=1$.
(2)
∵方程为一元二次方程,
∴$k^{2}-1≠0$.
∴$k≠\pm 1$.
∴二次项系数为$k^{2}-1$,一次项系数为$k+1$,常数项为-2.

15. 若 $x^{2a + b}-2x^{a - b}+3 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程,求 $a,b$ 的值.张敏是这样考虑的:满足条件的 $a,b$ 必须满足 $\begin{cases}2a + b = 2,\\a - b = 2.\end{cases}$ 张敏的这种想法全面吗? 若不全面,请写出满足的条件.

答案： 解:张敏的想法不全面,由$x^{2a+b}-2x^{a-b}+3=0$是关于x的一元二次方程可得$\left\{\begin{array}{l} 2a+b=2,\\ a-b=0\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} 2a+b=2,\\ a-b=1\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} 2a+b=2,\\ a-b=2\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} 2a+b=1,\\ a-b=2\end{array}\right. $或$\left\{\begin{array}{l} 2a+b=0,\\ a-b=2.\end{array}\right. $