《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

10. 如图，一次函数 $ y = -\frac{3}{2}x + 1 $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象在第二象限相交于点 $ A $，且点 $ A $ 的横坐标为 $ -2 $.
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 点 $ B $ 的坐标是 $ (-3,0) $，若点 $ P $ 在 $ y $ 轴上，且 $ \triangle AOP $ 的面积与 $ \triangle AOB $ 的面积相等，求点 $ P $ 的坐标.

答案：
(1)$\because$一次函数$y=-\dfrac{3}{2}x+1$与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在第二象限交于点$A$,点$A$的横坐标为$-2$,$\therefore$将$x=-2$代入$y=-\dfrac{3}{2}x+1$,得$y=4$.$\therefore A(-2,4)$.将$A(-2,4)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$4=\dfrac{k}{-2}$,解得$k=-8$.$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{8}{x}$.
(2)设$P(0,m)$.$\because \triangle AOP$的面积与$\triangle AOB$的面积相等,$\therefore \dfrac{1}{2}\cdot|m|\cdot2=\dfrac{1}{2}×3×4$.$\therefore m=\pm6$.$\therefore$点$P$的坐标为$(0,6)$或$(0,-6)$.

11. 已知反比例函数 $ y = \frac{1 - 2m}{x} $（$ m $ 为常数）的图象在第一、三象限.
(1) 如图，若该反比例函数的图象经过 $ □ ABOD $ 的顶点 $ D $，点 $ A,B $ 的坐标分别为 $ (0,3),(-2,0) $，求出此函数的表达式；
(2) 若 $ E(x_1,y_1),F(x_2,y_2) $ 都在该反比例函数的图象上，且 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $，则 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 有怎样的大小关系？

答案：
(1)$\because B$点坐标为$(-2,0)$,$\therefore OB=2$.$\because$四边形$ABOD$为平行四边形,$\therefore AD// OB$,$AD=OB=2$.又$\because A$点坐标为$(0,3)$,$\therefore D$点坐标为$(2,3)$.$\because$点$D$在该反比例函数的图象上,$\therefore 1-2m=2×3=6$.$\therefore$反比例函数表达式为$y=\dfrac{6}{x}$.
(2)$\because x_{1}＞x_{2}＞0$,$\therefore E,F$两点都在第一象限.$\therefore y$随$x$的增大而减小.$\therefore y_{1}＜ y_{2}$.

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象交矩形 $ OABC $ 的边 $ AB $ 于点 $ D $，边 $ BC $ 于点 $ E $，且 $ EB = 2EC $. 若四边形 $ ODBE $ 的面积为 6，则 $ k $ 的值为3.
方法：坐标法(通法)
第一步：设点：设点 $ C $ 的坐标为 $ (a,0) $.
第二步：标其他点：$ \because $ 点 $ E $ 与点 $ C $ 的横坐标一样，且点 $ E $ 在反比例函数图象上，$ \therefore $ 点 $ E $ 的坐标为$(a,\dfrac{k}{a})$. $ \because BE = 2EC $，$ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为$(a,\dfrac{3k}{a})$.
第三步：列方程：$ \because S_{四边形ODBE} = S_{矩形AOCB} - S_{\triangle AOD} - S_{\triangle COE} = 6 $，$ \therefore $ 代入点 $ B $ 坐标后，解得 $ k = $3.

答案： 3 $(a,\dfrac{k}{a})$ $(a,\dfrac{3k}{a})$ 3

(2024·广西大学附中月考)如图，矩形 $ ABCD $ 的一边 $ CD $ 在 $ x $ 轴上，顶点 $ A,B $ 分别落在双曲线 $ y = \frac{1}{x},y = \frac{4}{x} $ 上，边 $ BC $ 交 $ y = \frac{1}{x} $ 于点 $ E $，连接 $ AE $，则 $ \triangle ABE $ 的面积为$\dfrac{9}{8}$.

答案： $\dfrac{9}{8}$