《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE$是$BC$的垂直平分线，$DE$交$AC$于点$E$，连接$BE$。若$BE = 9$，$BC = 12$，则$\cos C =$$\frac{2}{3}$。

答案： $\frac{2}{3}$

2. (2024·内江)如图，在矩形$ABCD$中，$AB = 3$，$AD = 5$，点$E$在$DC$上，将矩形$ABCD$沿$AE$折叠，点$D$恰好落在边$BC$上的点$F$处，那么$\tan\angle EFC =$$\frac{4}{3}$。

答案： $\frac{4}{3}$

3. (2023·常州)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，点$D$在边$AB$上，连接$CD$。若$BD = CD$，$\frac{AD}{BD} = \frac{1}{3}$，则$\tan B =$$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$是边$BC$的中点，$AE\perp BD$，垂足为$F$，则$\tan\angle BDE$的值是(A)

A.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{3}$

答案： A

5. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle BAC$的平分线交$BC$于点$E$，$EF\perp AB$于点$F$，点$F$恰好是$AB$的一个三等分点（$AF ＞ BF$）。
（1）求证：$\triangle ACE\cong\triangle AFE$；
（2）求$\tan\angle CAE$的值。

答案： 解:
(1)证明:$\because AE$是$\angle BAC$的平分线,$EC\perp AC$,$EF\perp AF$,$\therefore CE=EF$.在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle AFE$中,$\begin{cases} CE=FE, \\ AE=AE, \end{cases}$$\therefore Rt\triangle ACE\congRt\triangle AFE$(HL).
(2)由
(1)可知$\triangle ACE\cong\triangle AFE$,$\therefore AC=AF$,$CE=FE$.设$BF=m$,则$AC=AF=2m$,$\therefore AB=3m$.$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{9m^{2}-4m^{2}}=\sqrt{5}m$.$\therefore$在$Rt\triangle ABC$中,$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{2m}{\sqrt{5}m}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.在$Rt\triangle EFB$中,$EF=BF\cdot\tan B=\frac{2m}{\sqrt{5}}$,在$Rt\triangle ACE$中,$\tan\angle CAE=\frac{CE}{AC}=\frac{EF}{AC}=\frac{\frac{2m}{\sqrt{5}}}{2m}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,$\therefore \tan\angle CAE=\frac{\sqrt{5}}{5}$.