《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

9. 如图，△ABC 与△BDE 都是等边三角形，点 D 在边 AC 上(不与点 A，C 重合)，DE 与 AB 相交于点 F，则下列结论不正确的是 (D)


A.△BCD∽△BEF
B.△BCD∽△DAF
C.△BDF∽△BAD
D.△BCD∽△BDE

答案： D

10. 如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分∠ACB.若 AD=2，BD=3，则 AC 的长是√10.

答案： √10

11. (2023·东营改编)如图，△ABC 为等边三角形，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，∠ADE=60°.若 BD=4DC，DE=2.4，则 AD 的长为3.

答案： 3

12. (2023·贵港港北六中月考)如图，在矩形 ABCD 中，M 是 BC 上的一点，连接 AM，DE⊥AM 于点 E.
(1)求证：△ADE∽△MAB；
(2)若$\frac{CD}{DE}=\frac{3}{4}$，AD=8，BM=3，求 EM 的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠BAD=∠B=90°.
∴∠DAE=∠AMB=90°-∠BAM.
∵DE⊥AM,
∴∠AED=∠B=90°.
∴△ADE∽△MAB.
(2)
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AB=CD.
∵AB/DE=CD/DE=3/4.
∵△ADE∽△MAB,
∴AD/AM=AE/MB=DE/AB,即8/AM=AE/3=4/3,解得 AM=6,AE=4.
∴EM=AM-AE=2.

13. 在△ABC 中，P 为边 AB 上一点.
(1)如图 1，若∠ACP=∠B，求证：AC²=AP·AB；
(2)设 M 为 CP 的中点，AC=2.
①如图 2，若∠PBM=∠ACP，AB=3，求 BP 的长；
②如图 3，若∠ABC=45°，∠A=∠BMP=60°，直接写出 BP 的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵∠ACP=∠B,∠BAC=∠CAP,
∴△ACP∽△ABC.
∴AC/AB=AP/AC.
∴AC²=AP·AB.
(2)①作 CQ//BM 交 AB 的延长线于点 Q.
∴∠PBM=∠AQC.
∵∠PBM=∠ACP,
∴∠AQC=∠ACP.又
∵∠PAC=∠CAQ,
∴△APC∽△ACQ.
∴AC/AP=AQ/AC.
∴AC²=AP·AQ.
∵M 为 PC 的中点,BM//CQ,
∴PB/PQ=PM/PC=1/2.设 BP=x,则 PQ=2x,BQ=x.
∴2²=(3-x)(3+x),解得 x₁=√5,x₂=-√5(不合题意,舍去).
∴BP=√5.②BP=√7-1.