《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

9. 若方程$x^{2}+kx+64 = 0$的左边是完全平方式，则$k$的值是(D)

A.$\pm8$
B.16
C.$-16$
D.$\pm16$

答案： 9.D

10. (2024·东营)用配方法解一元二次方程$x^{2}-2x - 2023 = 0$，将它转化为$(x+a)^{2}=b$的形式，则$a^{b}$的值为(D)

A.$-2024$
B.2024
C.$-1$
D.1

答案： 10.D

11. 新考向 新定义问题 规定：$a\otimes b=(a+b)b$，如：$2\otimes3=(2+3)×3 = 15$。若$2\otimes x = 3$，则$x=$1 或$-3$。

答案： 11.1 或$-3$

12. 若$M = a^{2}-a$，$N = a - 3$，则$M$，$N$的大小关系为$M＞N$。

答案： 12.$M＞N$

13. 新考向 阅读理解 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式$y^{2}+4y+8$的最小值。
解：$y^{2}+4y+8 = y^{2}+4y+4+4=(y+2)^{2}+4$。
$\because(y+2)^{2}\geqslant0$，
$\therefore(y+2)^{2}+4\geqslant4$。
$\therefore y^{2}+4y+8$的最小值是4。
请你仿照上述方法求代数式$m^{2}+m+4$的最小值。

答案： 13.解:$m^{2}+m+4=(m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}$.$\because (m+\frac{1}{2})^{2}\geq0$,$\therefore (m+\frac{1}{2})^{2}+\frac{15}{4}\geq\frac{15}{4}$.$\therefore m^{2}+m+4$的最小值是$\frac{15}{4}$.

14. 把方程$x^{2}-12x+p = 0$配方，得到$(x+m)^{2}=49$。
(1)求常数$p$与$m$的值；
(2)求此方程的解。

答案： 14.解:
(1)由$(x+m)^{2}=49$可得$x^{2}+2mx+m^{2}=49$,即$x^{2}+2mx+m^{2}-49=0$.由题意,得$\left\{\begin{array}{l}2m=-12,\\ m^{2}-49=p,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}m=-6,\\ p=-13.\end{array}\right.$
(2)由
(1)知$m=-6$,$\therefore$原方程配方得$(x-6)^{2}=49$,解得$x_{1}=13$,$x_{2}=-1$.

15. 新考向 推理能力 探究与运用
【规律猜想】
观察下列方程及其解的特征：
①$x+\frac{1}{x}=2$的解为$x_{1}=x_{2}=1$；
②$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$的解为$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{1}{2}$；
③$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}$的解为$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{1}{3}$；
……
解答下列问题：
(1)猜想：方程$x+\frac{1}{x}=\frac{26}{5}$的解为$x_{1}=5$,$x_{2}=\frac{1}{5}$；
(2)猜想：关于$x$的方程$x+\frac{1}{x}=$$\frac{a^{2}+1}{a}$的解为$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{1}{a}(a\neq0)$；
【推理论证】
(3)请以解方程$x+\frac{1}{x}=\frac{26}{5}$为例，验证(1)中猜想结论的正确性。下面给出了验证的部分过程，请把剩余部分补充完整。
解：原方程可化为$x^{2}-\frac{26}{5}x=-1$。…

答案： 15.解:
(1)$x_{1}=5$,$x_{2}=\frac{1}{5}$
(2)$\frac{a^{2}+1}{a}$
(3)补充过程如下:$\because x^{2}-\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}=-1+\frac{169}{25}$.$\therefore (x-\frac{13}{5})^{2}=\frac{144}{25}$.$\therefore x-\frac{13}{5}=\pm\frac{12}{5}$.$\therefore x_{1}=5$,$x_{2}=\frac{1}{5}$.