《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

11. 已知线段 $ AB $ 上有两点 $ C $，$ D $，且 $ AC:CB = 1:5 $，$ CD:AB = 1:3 $，则 $ AC:CD = $1:2.

答案： 1:2

12. 新考向 真实情境(2023·达州)如图，乐器上的一根弦 $ AB = 80 cm $，两个端点 $ A $，$ B $ 固定在乐器面板上，支撑点 $ C $ 是靠近点 $ B $ 的黄金分割点，支撑点 $ D $ 是靠近点 $ A $ 的黄金分割点，则支撑点 $ C $，$ D $ 之间的距离为$(80\sqrt{5}-160)$$ cm$.(结果保留根号)
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答案： $(80\sqrt{5}-160)$

13. 【分类讨论思想】已知三条线段的长分别为 $ 3 cm $，$ 6 cm $，$ 8 cm $，如果再增加一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长可以为$\frac{9}{4}$或4或16$ cm$.

答案： $\frac{9}{4}$或4或16

14. (2024·河池二模改编)宽与长的比是 $ \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $ 的矩形叫作黄金矩形. 心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感. 现在，按照如下的步骤作图：
第一步：作一个正方形 $ ABCD $；
第二步：分别取 $ AD $，$ BC $ 的中点 $ M $，$ N $，连接 $ MN $；
第三步：以点 $ N $ 为圆心，$ ND $ 长为半径画弧，交 $ BC $ 的延长线于点 $ E $；
第四步：过点 $ E $ 作 $ EF \perp AD $，交 $ AD $ 的延长线于点 $ F $.
则下列矩形是黄金矩形的是 (D)


A.矩形 $ ABMN $
B.矩形 $ MNCD $
C.矩形 $ MNEF $
D.矩形 $ DCEF $

答案： D

15. 如图，在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ CD $ 是斜边 $ AB $ 上的高，试猜想线段 $ AB $，$ AC $，$ BC $，$ CD $ 是不是成比例线段，并说明理由.
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答案： 解：AB，AC，BC，CD是成比例线段.理由：$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，$\therefore AC\cdot BC=AB\cdot CD$.$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$.$\therefore AB$，AC，BC，CD是成比例线段.

16. （本课时 $ T14 $ 变式）（1）我们把邻边之比为 $ \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} $ 的矩形叫作黄金矩形. 如图，已知正方形 $ ABCD $，请用无刻度直尺和圆规作出黄金矩形 $ ABPQ $，使得点 $ P $，$ Q $ 分别在线段 $ BC $，$ AD $ 上；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，若以 $ AQ $ 为边作正方形 $ AMNQ $，使得点 $ M $，$ N $ 分别在线段 $ AB $，$ PQ $ 上，则矩形 $ MBPN $ 是黄金矩形吗？为什么？

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答案： （1）图略，四边形ABPQ即为所求.（2）作正方形AMNQ图略，矩形MBPN是黄金矩形.理由如下：$\because$矩形ABPQ是黄金矩形，$\therefore \frac{AQ}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.$\because$四边形AMNQ是正方形，$\therefore AQ=AM=MN$.$\therefore \frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.$\therefore$点M是线段AB的黄金分割点.$\therefore \frac{BM}{AM}=\frac{AM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.$\because MN=AM$，$\therefore \frac{BM}{MN}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.故矩形MBPN是黄金矩形.