《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

9. 如图，在宽为 $ 20 \, m $，长为 $ 32 \, m $ 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 $ 540 \, m^2 $，求道路的宽. 如果设道路的宽为 $ x \, m $，根据题意，所列方程正确的是(C)

A.$ (20 + x)(32 - x) = 540 $
B.$ (20 - x)(32 - x) = 100 $
C.$ (20 - x)(32 - x) = 540 $
D.$ (20 + x)(32 - x) = 540 $

答案： C

10. 如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为 $ 60 \, m $，宽为 $ 40 \, m $ 的矩形空地上修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道的宽为 $ a \, m $.
(1) 当 $ a = 10 $ 时，花圃的面积为$800m^{2}$；
(2) 通道的面积与花圃的面积之比能否等于 $ 3:5 $？如果可以，试求出此时通道的宽.

答案： 10.解:
(1)$800m^{2}$
(2)根据题意,得$(40-2a)(60-2a)=\frac {5}{8}×60×40$,解得$a_{1}=5$,$a_{2}=45$(舍去).
答:通道的面积与花圃的面积之比能等于$3:5$,此时通道的宽为5m.

11. 如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地 $ ABCD $(靠墙一面不用栅栏)，用于修建自行车车棚，所用栅栏的总长度为 $ 34 \, m $，墙的最大可用长度为 $ 18 \, m $. 为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个 $ 2 \, m $ 宽的门(门用其他材料)，设栅栏 $ AB $ 的长为 $ x \, m $. 解答下列问题：
(1) $ BC = $$(36-2x)$$ m $；(用含 $ x $ 的代数式表示)
(2) 若围成的自行车车棚 $ ABCD $ 的面积为 $ 154 \, m^2 $，求栅栏 $ BC $ 的长；
(3) 围成的自行车车棚 $ ABCD $ 的面积能为 $ 200 \, m^2 $ 吗？请说明理由.

答案： 11.解:
(1)$(36-2x)$
(2)根据图形,可列方程$x(36-2x)=154$,解得$x_{1}=7$,$x_{2}=11$.当$x=7$时,$BC=36-2x=22＞18$,不符合题意,舍去;当$x=11$时,$BC=36-2x=14$,符合题意.
答:栅栏 BC 的长为14 m.
(3)不能.理由如下:依题意,得$x(36-2x)=200$,整理,得$x^{2}-18x+100=0$.$\because \Delta =(-18)^{2}-4×1×100=-76＜0$,$\therefore$方程没有实数根,$\therefore$自行车车棚 ABCD 的面积不能为$200m^{2}$.

12. 【问题背景】
如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 5 \, cm $，$ BC = 6 \, cm $，点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿边 $ AB $ 向终点 $ B $ 以 $ 1 \, cm/s $ 的速度移动，与此同时，点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿边 $ BC $ 向终点 $ C $ 以 $ 2 \, cm/s $ 的速度移动，如果点 $ P $，$ Q $ 分别从点 $ A $，$ B $ 同时出发，当点 $ Q $ 运动到点 $ C $ 时，两点停止运动. 设运动时间为 $ t \, s $.
【问题理解】
(1) 填空：$ BQ = $$2t$$ cm $，$ PB = $$(5-t)$$ cm $(用含 $ t $ 的代数式表示)；
【初步应用】
(2) 当 $ t $ 为何值时，$ PQ $ 的长度等于 $ 5 \, cm $？
【拓展探究】
(3) 是否存在 $ t $ 的值，使得五边形 $ APQCD $ 的面积等于 $ 26 \, cm^2 $？若存在，请求出此时 $ t $ 的值；若不存在，请说明理由.

答案： 12.解:
(1)$2t$ $(5-t)$
(2)由题意,得$(5-t)^{2}+(2t)^{2}=5^{2}$,解得$t_{1}=0$,$t_{2}=2$.故当 t 的值为0或2时,PQ 的长度等于5 cm.
(3)存在.$\because S_{矩形ABCD}=5×6=30(cm^{2})$,$S_{五边形APQCD}=26cm^{2}$,$\therefore S_{\triangle PBQ}=30-26=4(cm^{2})$,即$(5-t)×2t×\frac {1}{2}=4$.解得$t_{1}=4$,$t_{2}=1$.当$t=4$时,$2t=8＞6$,不合题意,舍去;当$t=1$时,$2t=2$,符合题意.故当$t=1$时,五边形 APQCD 的面积等于$26cm^{2}$.