《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 如图，双曲线 $ y_{1}=\frac{k}{x} $（$ k $ 为常数，且 $ k \neq 0 $）与直线 $ y_{2}=2x+b $ 交于 $ A(1,m) $ 和 $ B(\frac{1}{2}n,n+2) $ 两点。
(1) 求 $ k $，$ m $ 的值；
(2) 当 $ x＞0 $ 时，试比较函数值 $ y_{1} $ 与 $ y_{2} $ 的大小。

答案： 1.解:
(1)
∵点$B\left(\dfrac{1}{2}n,n+2\right)$在直线$y_{2}=2x+b$上,$\therefore n+2=2×\dfrac{1}{2}n+b$. $\therefore b=2$. $\therefore$直线的表达式为$y_{2}=2x+2$. $\because$点$A(1,m)$在直线$y_{2}=2x+2$上,$\therefore m=2+2=4$. $\therefore A(1,4)$. $\because$双曲线$y_{1}=\dfrac{k}{x}$($k$为常数,且$k≠0$)与直线$y_{2}=2x+b$交于$A(1,4)$,$\therefore k=1×4=4$.
(2)由图象可知,当$0＜x＜1$时,$y_{1}＞y_{2}$;当$x=1$时,$y_{1}=y_{2}=4$;当$x＞1$时,$y_{1}＜y_{2}$.

2. 如图，已知反比例函数 $ y=\frac{k}{x}(x＞0) $ 的图象与一次函数 $ y=-\frac{1}{2}x+4 $ 的图象交于 $ A $ 和 $ B(6,n) $ 两点。
(1) 求 $ k $ 和 $ n $ 的值；
(2) 若点 $ C(x,y) $ 也在反比例函数 $ y=\frac{k}{x}(x＞0) $ 的图象上，求当 $ 2 \leq x \leq 6 $ 时，函数值 $ y $ 的取值范围。

答案： 2.解:
(1)将$B(6,n)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+4$,得$n=-\dfrac{1}{2}×6+4=1$,$\therefore$点$B$的坐标为$(6,1)$. $\because$反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过点$B(6,1)$,$\therefore k=6×1=6$.
(2)$\because k=6＞0$,$\therefore$当$x＞0$时,$y$随$x$值增大而减小. $\therefore$当$2\leqslant x\leqslant6$时,$1\leqslant y\leqslant3$.

3. 已知 $ A(-4,2) $，$ B(n,-4) $ 是一次函数 $ y=kx+b $ 和反比例函数 $ y=\frac{m}{x} $ 图象的两个交点。
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 求 $ \triangle AOB $ 的面积；
(3) 观察图象，直接写出不等式 $ kx+b-\frac{m}{x}＞0 $ 的解集。

答案： 3.解:
(1)把$A(-4,2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$,得$m=2×(-4)=-8$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\dfrac{8}{x}$. 把$B(n,-4)$代入$y=-\dfrac{8}{x}$,得$-4n=-8$,解得$n=2$. $\therefore$点$B$的坐标为$(2,-4)$. 把$A(-4,2)$,$B(2,-4)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}-4k+b=2,\\2k+b=-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-2.\end{cases}$ $\therefore$一次函数的表达式为$y=-x-2$.
(2)设直线与$x$轴的交点为$C$,在$y=-x-2$中,令$y=0$,则$x=-2$, $\therefore C(-2,0)$. $\therefore OC=2$. $\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\dfrac{1}{2}×2×2+\dfrac{1}{2}×2×4=6$.
(3)不等式$kx+b-\dfrac{m}{x}＞0$的解集是$x＜-4$或$0＜x＜2$.

4. (2024·凉山州) 如图，正比例函数 $ y_{1}=\frac{1}{2}x $ 与反比例函数 $ y_{2}=\frac{k}{x}(x＞0) $ 的图象交于点 $ A(m,2) $。
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 把直线 $ y_{1}=\frac{1}{2}x $ 向上平移 3 个单位长度后与 $ y_{2}=\frac{k}{x}(x＞0) $ 的图象交于点 $ B $，连接 $ AB $，$ OB $，求 $ \triangle AOB $ 的面积。

答案： 4.解:
(1)$\because$点$A(m,2)$在正比例函数$y_{1}=\dfrac{1}{2}x$的图象上,$\therefore 2=\dfrac{1}{2}m$,解得$m=4$. $\therefore A(4,2)$. $\because$点$A(4,2)$在反比例函数$y_{2}=\dfrac{k}{x}$的图象上,$\therefore k=4×2=8$. $\therefore$反比例函数的表达式为$y_{2}=\dfrac{8}{x}(x＞0)$.
(2)把直线$y_{1}=\dfrac{1}{2}x$向上平移3个单位长度后得到直线$y=\dfrac{1}{2}x+3$. 设平移后的直线与$y$轴交于点$D$,连接$AD$. 由题意,得$D(0,3)$,$BD// AO$. $\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ADO}=\dfrac{1}{2}×3×4=6$.