《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 根据平方根的意义求解下列方程：
(1) $ 3x^{2}-27 = 0 $；
(2) $ 2(3x - 1)^{2}=8 $。

答案： 1.解:
(1)$3x^{2}=27$,$x^{2}=9$,$x=±3$,$\therefore x_{1}=3$,$x_{2}=-3$.
(2)$(3x-1)^{2}=4$,$3x-1=±2$,$\therefore x_{1}=1$,$x_{2}=-\dfrac{1}{3}$.

2. 用配方法解下列方程：
(1) $ x^{2}+2x - 5 = 0 $；
(2) $ \frac{1}{4}x^{2}-6x + 3 = 0 $。

答案： 2.解:
(1)$x^{2}+2x=5$,$x^{2}+2x+1=6$,$(x+1)^{2}=6$,$x=-1±\sqrt{6}$,$\therefore x_{1}=-1+\sqrt{6}$,$x_{2}=-1-\sqrt{6}$.
(2)$x^{2}-24x+12=0$,$(x-12)^{2}=132$,$x-12=±2\sqrt{33}$,$\therefore x_{1}=2\sqrt{33}+12$,$x_{2}=-2\sqrt{33}+12$.

3. 用因式分解法解下列方程：
(1) $ 2(t - 1)^{2}+8t = 0 $；
(2) $ x^{2}-1 = 2(x + 1) $；
(3) $ 3x^{2}+5x - 2 = 0 $。

答案： 3.解:
(1)原方程可化为$2t^{2}+4t+2=0$.$\therefore t^{2}+2t+1=0$.$\therefore (t+1)^{2}=0$.$\therefore t_{1}=t_{2}=-1$.
(2)$(x+1)(x-1)=2(x+1)$,$(x+1)(x-1)-2(x+1)=0$,$(x+1)(x-3)=0$,$\therefore x+1=0$或$x-3=0$.解得$x_{1}=-1$,$x_{2}=3$.
(3)$(3x-1)(x+2)=0$,$\therefore 3x-1=0$或$x+2=0$.$\therefore x_{1}=\dfrac{1}{3}$,$x_{2}=-2$.

4. 用公式法解下列方程：
(1) $ 9x^{2}-6x + 1 = 0 $；
(2) $ x^{2}-2\sqrt{3}x + 2 = 0 $；
(3) $ \sqrt{3}x = \sqrt{2}(x + 1)(x - 1) $。

答案： 4.解:
(1)这里$a=9$,$b=-6$,$c=1$;因而$b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×9×1=0$,所以$x=\dfrac{6±\sqrt{0}}{2×9}=\dfrac{1}{3}$.因此,原方程的根为$x_{1}=x_{2}=\dfrac{1}{3}$.
(2)$\because a=1$,$b=-2\sqrt{3}$,$c=2$,$b^{2}-4ac=(-2\sqrt{3})^{2}-4×1×2=4＞0$,$\therefore x=\dfrac{-(-2\sqrt{3})±2}{2×1}=\sqrt{3}±1$.$\therefore x_{1}=\sqrt{3}-1$,$x_{2}=\sqrt{3}+1$.
(3)将原方程化为一般形式,得$\sqrt{2}x^{2}-\sqrt{3}x-\sqrt{2}=0$.$\because a=\sqrt{2}$,$b=-\sqrt{3}$,$c=-\sqrt{2}$,$b^{2}-4ac=(-\sqrt{3})^{2}-4×\sqrt{2}×(-\sqrt{2})=11＞0$,$\therefore x=\dfrac{\sqrt{3}±\sqrt{11}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}±\sqrt{22}}{4}$.$\therefore x_{1}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{22}}{4}$,$x_{2}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{22}}{4}$.