《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

新考向 阅读理解 (2024·南宁三十七中模拟)德国著名的天文学家开普勒说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割. 如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”如图1,点C把线段AB分成两部分($AC＞CB$),如果$\frac {BC}{AC}=\frac {AC}{AB}=\frac {\sqrt {5}-1}{2}$,那么称点C为线段AB的黄金分割点.
(1)特例感知:在图1中,若$AB=10$,则$BC=$$15-5\sqrt{5}$;
(2)知识探究:如图2,用纸折出黄金分割点的步骤如下:
①先将一张边长为1的正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF;
②再折出矩形BCFE的对角线BF;
③最后将边AB折叠,点A的对应点为$A'$,且点$A'$在BF上,得到折痕BG.
求证:点G为线段AD的黄金分割点($AG＞GD$);
(3)拓展应用:五角星是一个非常优美的几何图形,与黄金分割有着密切的联系.如图3,延长正五边形ABCDE的每条边,相交可得到五角星,点E是线段PD的黄金分割点,请利用题中的条件,求$cos72^{\circ }$的值.

答案：
(1)$15-5\sqrt{5}$
(2)证明:连接$GF$.正方形$ABCD$的边长为1,由折叠的性质,得$AB=A'B=1$,$AG=A'G$,$DF=CF=\dfrac{1}{2}$.在$Rt \triangle BCF$中,$BF=\sqrt{BC^{2}+CF^{2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$,$\therefore A'F=BF-A'B=\dfrac{\sqrt{5}}{2}-1$.设$AG=A'G=x$,则$GD=1-x$.在$Rt \triangle A'GF$和$Rt \triangle DGF$中,由勾股定理,得$A'F^{2}+A'G^{2}=DF^{2}+DG^{2}=GF^{2}$,即$\left( \dfrac{\sqrt{5}}{2}-1\right)^{2}+x^{2}=\left( \dfrac{1}{2}\right)^{2}+(1-x)^{2}$,解得$x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.$\therefore$点$G$是线段$AD$的黄金分割点($AG＞GD$).
(3)正五边形的每个内角为$\dfrac{(5-2)×180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$,$\therefore\angle PEA=\angle PAE=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$.作$PH\perp AE$于点$H$,则$H$为$AE$中点.$\therefore\cos72^{\circ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AE}{PE}=\dfrac{AE}{2PE}$.$\because$点$E$是线段$PD$的黄金分割点,$\therefore\dfrac{DE}{PE}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.又$\because AE=DE$,$\therefore\dfrac{AE}{PE}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.$\therefore\cos72^{\circ}=\dfrac{AE}{2PE}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$.