《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

7. (2024·赤峰)已知等腰三角形的两边长分别是方程$x^{2}-10x + 21 = 0$的两个根，则这个三角形的周长为(C)

A.17 或 13
B.13 或 21
C.17
D.13

答案： C

8. (本课时 T7 变式)三角形的两边长分别为 2 和 4，第三边的长是方程$x^{2}-6x + 8 = 0$的解，则这个三角形的周长是10.

答案： 8.10

9. 用指定方法解下列一元二次方程：
（1）$\frac{1}{2}(x + 4)^{2}=32$；（用平方根的意义求解）
（2）$2x^{2}+4x - 5 = 0$；（配方法）
（3）$7x(2x - 3)=4(3 - 2x)$；（因式分解法）
（4）$x^{2}-2x - 1 = 0$.（公式法）

答案： 9.解:
(1)$\left(x+4\right)^{2}=64$,$x+4=\pm 8$,$x+4=8$或$x+4=-8$,$\therefore x_{1}=4$,$x_{2}=-12$.
(2)$x^{2}+2x-\frac{5}{2}=0$,$\left(x+1\right)^{2}=\frac{7}{2}$,$x+1=\pm \frac{\sqrt{14}}{2}$,$\therefore x_{1}=\frac{\sqrt{14}-2}{2}$,$x_{2}=\frac{-\sqrt{14}-2}{2}$.
(3)$7x\left(2x-3\right)+4\left(2x-3\right)=0$,$\left(2x-3\right)\left(7x+4\right)=0$,$\therefore 2x-3=0$或$7x+4=0$.$\therefore x_{1}=\frac{3}{2}$,$x_{2}=-\frac{4}{7}$.
(4)$a=1$,$b=-2$,$c=-1$,$b^{2}-4ac=\left(-2\right)^{2}-4× 1× \left(-1\right)=8$,$x=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$,$\therefore x_{1}=1+\sqrt{2}$,$x_{2}=1-\sqrt{2}$.

10. 用适当的方法解下列方程：
（1）$4(2x - 1)^{2}-36 = 0$；
（2）$2x^{2}+5(2x + 1)=0$；
（3）$(x + 1)(x - 1)+2(x + 3)=8$.

答案： 10.解:
(1)$\left(2x-1\right)^{2}=9$,$2x-1=\pm 3$,$\therefore x_{1}=2$,$x_{2}=-1$.
(2)方程整理为一般形式,得$2x^{2}+10x+5=0$.$\because a=2$,$b=10$,$c=5$,$\therefore b^{2}-4ac=10^{2}-4× 2× 5=60＞0$.$\therefore x=\frac{-10\pm 2\sqrt{15}}{4}=\frac{-5\pm \sqrt{15}}{2}$.$\therefore x_{1}=\frac{-5+\sqrt{15}}{2}$,$x_{2}=\frac{-5-\sqrt{15}}{2}$.
(3)$x^{2}-1+2x+6=8$,$x^{2}+2x-3=0$,$\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0$,$\therefore x+3=0$或$x-1=0$.$\therefore x_{1}=1$,$x_{2}=-3$.

11. 新考向 阅读理解
【阅读与理解】
如果关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”.
例如：一元二次方程$x^{2}+x = 0$的两个根是$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$，则方程$x^{2}+x = 0$是“邻根方程”.
【提出问题】
（1）通过计算，判断方程$x^{2}-9x + 20 = 0$是不是“邻根方程”；
【灵活运用】
（2）已知关于$x$的方程$x^{2}-(m - 1)x - m = 0$（$m$是常数）是“邻根方程”，求$m$的值.

答案： 11.解:
(1)$x^{2}-9x+20=0$,解得$x_{1}=4$,$x_{2}=5$.$\because 5-4=1$,$\therefore$方程$x^{2}-9x+20=0$是"邻根方程".
(2)$x^{2}-\left(m-1\right)x-m=0$,解得$x_{1}=m$,$x_{2}=-1$.$\because$方程$x^{2}-\left(m-1\right)x-m=0$($m$是常数)是"邻根方程",$\therefore m=-1+1=0$或$m=-1-1=-2$.$\therefore m$的值为0或-2.