《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

10. 已知二次函数 $ y = 2(x - h)^2 $。
(1)若 $ x ＞ 3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则 $ h $ 的取值满足$ h \leq 3 $；
(2)若 $ x ＜ 3 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则 $ h $ 的取值满足$ h \geq 3 $。

答案：
(1)$ h \leq 3 $
(2)$ h \geq 3 $

11. 已知二次函数 $ y = 3(x - 5)^2 $，当 $ x $ 分别取 $ x_1 $，$ x_2 $ 时，函数的值相等，则 $ x_1 + x_2 = $10。

答案： 10

12. 新考向 新定义问题 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“完美点”。则抛物线 $ y = -\frac{1}{4}(x + 3)^2 $ 上的“完美点”为$ (-1,-1),(-9,-9) $。

答案： $ (-1,-1),(-9,-9) $

13. 已知 $ A(-4, y_1) $，$ B(-3, y_2) $，$ C(3, y_3) $ 三点都在二次函数 $ y = -5(x + 2)^2 $ 的图象上，则 $ y_1 $，$ y_2 $，$ y_3 $ 的大小关系为$ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $。

答案： $ y_3 ＜ y_1 ＜ y_2 $

14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $ y = ax + c $ 和二次函数 $ y = a(x + c)^2 $ 的图象大致为(B)

答案： B

15. (本课时T14变式)如图，在平面直角坐标系中，过 $ y $ 轴上的点 $ A $ 且与 $ x $ 轴平行的直线交抛物线 $ y = \frac{1}{3}(x + 1)^2 $ 于 $ B $，$ C $ 两点。若线段 $ BC $ 的长为6，则点 $ A $ 的坐标为(C)

A.$ (0, 1) $
B.$ (0, 4.5) $
C.$ (0, 3) $
D.$ (0, 6) $

答案： C

16. 已知一条抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的顶点与抛物线 $ y = -(x - 2)^2 $ 的顶点相同，且与直线 $ y = 3x - 13 $ 的交点 $ A $ 的横坐标为3。
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)把这条抛物线向右平移4个单位长度后，求所得的抛物线的表达式。

答案：
(1)由题意可知,$ A(3,-4) $.
∵抛物线 $ y=a(x-h)^2 $的顶点与抛物线 $ y=-(x-2)^2 $的顶点相同,
∴$ h=2 $.把点 $ A $的坐标$ (3,-4) $代入 $ y=a(x-2)^2 $,得$ -4=a(3-2)^2 $.
∴$ a=-4 $.
∴这条抛物线的表达式为 $ y=-4(x-2)^2 $.
(2)把这条抛物线向右平移4个单位长度后,求所得的抛物线的表达式为 $ y=-4(x-6)^2 $.

17. 已知点 $ P(m, a) $ 是抛物线 $ y = a(x - 1)^2 $ 上的点，且点 $ P $ 在第一象限内。
(1)求 $ m $ 的值；
(2)过点 $ P $ 作 $ PQ // x $ 轴交抛物线 $ y = a(x - 1)^2 $ 于点 $ Q $，若 $ a $ 的值为3，试求 $ \triangle PQO $ 的面积。

答案：
(1)
∵点 $ P(m,a) $是抛物线 $ y=a(x-1)^2 $上的点,
∴$ a=a(m-1)^2 $,解得 $ m=2 $或 $ m=0 $.
∵点 $ P $在第一象限内,
∴$ m=2 $.
(2)
∵$ a $的值为3,
∴二次函数的表达式为 $ y=3(x-1)^2 $,点 $ P $的坐标为$ (2,3) $.
∵$ PQ // x $轴交抛物线 $ y=a(x-1)^2 $于点 $ Q $,
∴$ 3=3(x-1)^2 $,解得 $ x=2 $(舍去)或 $ x=0 $.
∴点 $ Q $的坐标为$ (0,3) $.
∴$ PQ=2 $.
∴$ S_{\triangle PQO}=\dfrac{1}{2} × 3 × 2=3 $.

18. 新考向 代数推理 已知二次函数 $ y = -(x - h)^2 $($ h $ 为常数)，当自变量 $ x $ 的值满足 $ 2 \leq x \leq 5 $ 时，与其对应的函数值 $ y $ 的最大值为 -1，则 $ h $ 的值为(B)

A.3或6
B.1或6
C.1或3
D.4或6

答案： B