《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

10. 已知二次函数 $ y = mx^{m^2 + 1} $ 图象的顶点是其最低点，$ m = $ 1.

答案： 10.1

11. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = 2 $ 与抛物线 $ y = x^2 $ 和 $ y = ax^2 $ 分别交于 $ A $，$ B $ 和 $ C $，$ D $ 四个点. 若 $ CD = 2AB $，则 $ a $ 的值是 $\frac{1}{4}$.
]

答案： 11.$\frac {1}{4}$

12. (2024·广东)若点 $ (0, y_1) $，$ (1, y_2) $，$ (2, y_3) $ 都在二次函数 $ y = x^2 $ 的图象上，则(A)

A.$ y_3 ＞ y_2 ＞ y_1 $
B.$ y_2 ＞ y_1 ＞ y_3 $
C.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
D.$ y_3 ＞ y_1 ＞ y_2 $

答案： 12.A

13. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出① $ y = 3x^2 $；② $ y = \frac{2}{3}x^2 $；③ $ y = \frac{4}{3}x^2 $ 的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是(B)

A.①②③
B.①③②
C.②③①
D.②①③
]

答案： 13.B

14. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为 $ (1, 1) $，$ (3, 1) $，$ (3, 3) $，$ (1, 3) $. 若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象与正方形有公共点，则实数 $ a $ 的取值范围是(A)

A.$ \frac{1}{9} \leq a \leq 3 $
B.$ \frac{1}{9} \leq a \leq 1 $
C.$ \frac{1}{3} \leq a \leq 3 $
D.$ \frac{1}{3} \leq a \leq 1 $
]

答案： 14.A

15. 已知二次函数 $ y = ax^2 $ 与一次函数 $ y = 2x - 1 $ 的图象交于点 $ P(1, m) $.
(1) 求 $ a $，$ m $ 的值；
(2) 写出二次函数的表达式，并指出 $ x $ 取何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3) 写出该二次函数的图象的对称轴及对称轴与图象的交点坐标.

答案： 15.解:
(1)依题意,将点$P(1,m)$代入$y=2x-1$,得$m=2×1-1=1.$ $\therefore P(1,1)$.将$(1,1)$代入$y=ax^{2}$,得$a=1$.
(2)由
(1)得,二次函数的表达式为$y=x^{2}$.当$x＞0$时,y随x的增大而增大.
(3)二次函数$y=x^{2}$的图象的对称轴为y轴,对称轴与图象的交点坐标为$(0,0).$

16. 【分类讨论思想】已知点 $ A(2, a) $ 在二次函数 $ y = x^2 $ 的图象上.
【初步探索】
(1) 求点 $ A $ 的坐标；
【深入探究】
(2) 在 $ x $ 轴上是否存在点 $ P $，使 $ \triangle OAP $ 是等腰三角形？若存在，写出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 16.解:
(1)
∵点$A(2,a)$在二次函数$y=x^{2}$的图象上,$\therefore a=2^{2}=4$.
∴点A的坐标为$(2,4)$.
(2)分下列3种情况:①当$OA=OP$时,点P的坐标为$P_{1}(-2\sqrt {5},0),P_{2}(2\sqrt {5},0)$;②当$OA=AP$,点P的坐标为$(4,0)$;③当$OP=AP$时,如图,过点A作$AE⊥x$轴于点E.在$△AEP'$中,$AE^{2}+P'E^{2}=AP'^{2}$,设$AP'=x$,则$4^{2}+(x-2)^{2}=x^{2}$.解得$x=5$.
∴$P'(5,0)$.综上所述,使$△OAP$是等腰三角形的点P坐标为$(-2\sqrt {5},0),(2\sqrt {5},0),(4,0),(5,0).$