《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 已知三条线段的长分别是 3，4，12，若再添加一条新线段，使这四条线段能成比例，则这条新线段的长为1或9或16。

答案： 1或9或16

2. 在$□ ABCD$中，$E$是$AD$上一点，且点$E$将$AD$分为$2:3$的两部分，连接$BE$，与$AC$相交于点$F$，则$S_{\triangle AEF}:S_{\triangle CBF}=$4:25或9:25。

答案： 4:25或9:25

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$AC = 12$，点$D$，$E$分别在$AB$，$AC$上，其中$BD = x$，$AE = 2x$。当$\triangle ADE$与$\triangle ABC$相似时，$x$的值是1.2或3。

答案： 1.2或3

4. 有一个三角形钢筋框架的三边长分别为$20\mathrm{cm}$，$50\mathrm{cm}$，$60\mathrm{cm}$，要做一个与它相似的三角形框架。现有长$30\mathrm{cm}$，$50\mathrm{cm}$的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作另外两边，你认为有几种不同的截法？说出你的理由。

答案： 解:由于只有长30 cm,50 cm的两根钢筋,故只能将50 cm的钢筋进行分割,有两种截法,①把30 cm的钢筋作为新三角形的最长边,
∵$\frac{60}{30}=2$,
∴另两边的长分别为$\frac{50}{2}=25(cm)$及$\frac{20}{2}=10(cm)$.②把30 cm的钢筋作为新三角形的次长边,
∵$\frac{50}{30}=\frac{5}{3}$,
∴另两边的长为$\frac{60}{\frac{5}{3}}=\frac{180}{5}=36(cm)$及$\frac{20}{\frac{5}{3}}=12(cm)$.

5. 如图，正方形$ABCD$的边长为$2$，$BE = CE$，$MN = 1$，线段$MN$的两端在边$CD$，$AD$上滑动。当$DM$的长为多少时，$\triangle ABE$与以点$D$，$M$，$N$为顶点的三角形相似？请说明理由。

答案： 解:当$DM=\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$时,$\triangle ABC$与以点D,M,N为顶点的三角形相似.理由:
∵正方形ABCD的边长是2,$BE=CE$,
∴$BE=1$,$AB=2$,$\angle B=90°$.
∴$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{5}$.①若$\triangle ABE\backsim\triangle NDM$,则$DM:BE=MN:AE$.
∴$DM:1=1:\sqrt{5}$.
∴$DM=\frac{\sqrt{5}}{5}$;②若$\triangle ABE\backsim\triangle MDN$,则$DM:BA=MN:AE$.
∴$DM:2=1:\sqrt{5}$.
∴$DM=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.综上所述,$DM=\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

6. 如图所示，$O$为坐标原点，$A$，$B$，$C$，$D$均在格点上，线段$AB$，$CD$是位似图形，则位似中心的坐标是(0,0)或($\frac{14}{3}$,4)。

答案： (0,0)或($\frac{14}{3}$,4)

7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(-2,4)$，$B(-6,-2)$，以原点$O$为位似中心，把$\triangle ABO$缩小，为原图形的$\frac{1}{2}$，则点$A$的对应点$A'$的坐标是(C)

A.$(-1,2)$
B.$(-3,-1)$
C.$(-1,2)$或$(1,-2)$
D.$(-3,-1)$或$(3,1)$

答案： C