《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. (2023·吉林)一元二次方程 $ x^{2}-5x + 2 = 0 $ 根的判别式的值是(C)

A.33
B.23
C.17
D.$ \sqrt{17} $

答案： C

2. 一元二次方程 $ x^{2}-x - 3 = 0 $ 的根的情况为(B)

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： B

3. 下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是(A)

A.$ x^{2}+6x + 9 = 0 $
B.$ x^{2}=x $
C.$ x^{2}+3 = 2x $
D.$ (x - 1)^{2}+1 = 0 $

答案： A

4. (教材九上 P44 例变式)不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况.
(1) $ 3x^{2}-2x - 1 = 0 $；
(2) $ 2x^{2}-x + 1 = 0 $；
(3) $ 4x - x^{2}=x^{2}+2 $.

答案： 解:
(1)a=3,b=-2,c=-1.Δ=(-2)²-4×3×(-1)=16＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)a=2,b=-1,c=1.Δ=(-1)²-4×2×1=-7＜0,
∴方程没有实数根.
(3)原方程可整理为x²-2x+1=0,a=1,b=-2,c=1.
∴Δ=(-2)²-4×1×1=0.
∴方程有两个相等的实数根.

5. (2024·济南)若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-x - m = 0 $ 有两个不相等的实数根，则实数 $ m $ 的取值范围是(B)

A.$ m ＜ -\frac{1}{4} $
B.$ m ＞ -\frac{1}{4} $
C.$ m ＜ -4 $
D.$ m ＞ -4 $

答案： B

6. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^{2}-ax + a - 2 = 0 $ 有两个相等的实数根，则 $ a $ 的值是(B)

A.-4
B.4
C.4 或 -4
D.2

答案： B

7. 新考向 开放性问题 请写出一个常数 $ c $ 的值，使得关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+2x + c = 0 $ 无实数根，则 $ c $ 的值可以是2(答案不唯一).(填一个即可)

答案： 2(答案不唯一)

8. (教材九上 P45 习题 T4 变式)已知关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2}-(4k + 1)x + 2k^{2}-1 = 0 $，问当 $ k $ 取什么值时：
(1)方程有两个不相等的实数根；
(2)方程有两个相等的实数根；
(3)方程没有实数根.

答案： 解:
∵a=2,b=-(4k+1),c=2k²-1,
∴Δ=b²-4ac=[-(4k+1)]²-4×2×(2k²-1)=8k+9.
(1)
∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ＞0,即8k+9＞0,解得k＞-9/8.
(2)
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即8k+9=0,解得k=-9/8.
(3)
∵方程没有实数根,
∴Δ＜0,即8k+9＜0,解得k＜-9/8.