《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 如图，小刚从山脚 $ A $ 出发，沿坡角为 $ \alpha $ 的山坡向上走了 $ 300 $ 米到达点 $ B $，则小刚上升了(A)

A.$ 300\sin \alpha $ 米
B.$ 300\cos \alpha $ 米
C.$ 300\tan \alpha $ 米
D.$ \frac{300}{\tan \alpha} $ 米

答案： A

2. 斜面坡度常用来反映斜坡的倾斜程度. 如图，斜坡 $ AB $ 的斜面坡度为(D)

A.$ 1:4 $
B.$ 4:1 $
C.$ \sqrt{15}:1 $
D.$ 1:\sqrt{15} $

答案： D

3. (2024·贵港二模) 如图，有一斜坡 $ AB $，此斜坡的坡面长 $ AB = 40 $ m，斜坡的坡角是 $ \angle BAC $. 若 $ \sin \angle BAC = \frac{2}{5} $，则坡顶 $ B $ 离地面的高度 $ BC $ 为16 m.

答案： 16

4. 某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯. 如图所示，已知原阶梯式自动扶梯 $ AB $ 长为 $ 10 $ m，坡角 $ \angle ABD $ 为 $ 30° $，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角 $ \angle ACB $ 为 $ 15° $，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 $ AC $ 的长度. (结果精确到 $ 0.1 $ m. 参考数据： $ \sin 15° \approx 0.26 $， $ \cos 15° \approx 0.97 $， $ \tan 15° \approx 0.27 $)

答案： 解:在 Rt△ABD 中,∠ABD=30°,AB=10 m,
∴AD=AB·sin∠ABD=10sin30°=5(m). 在 Rt△ACD 中,∠ACD=15°,sin∠ACD=AD/AC,
∴AC=AD/sin∠ACD=5/sin15°≈5/0.26≈19.2(m).
答:改造后的斜坡式自动扶梯 AC 的长度约为 19.2 m.

5. 沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形 $ ABCD $，高 $ DH = 12 $ 米，斜坡 $ CD $ 的坡度 $ i = 1:1 $. 此处大堤的正上方有高压电线穿过， $ PD $ 表示高压线上的点与堤面 $ AD $ 的最近距离（ $ P $， $ D $， $ H $ 在同一直线上），在点 $ C $ 处测得 $ \angle DCP = 26° $.
(1) 求斜坡 $ CD $ 的坡角 $ \alpha $；
(2) 电力部门要求此处高压线离堤面 $ AD $ 的安全距离不低于 $ 18 $ 米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？
(参考数据： $ \sin 26° \approx 0.44 $， $ \tan 26° \approx 0.49 $， $ \sin 71° \approx 0.95 $， $ \tan 71° \approx 2.90 $)

答案：
(1)
∵斜坡 CD 的坡度 i=1:1,
∴tanα=DH:CH=1:1=1.
∴α=45°.
(2)符合电力部门的安全要求.理由:由
(1)可知,CH=DH=12 米,α=45°.
∴∠PCH=∠PCD+α=26°+45°=71°.在 Rt△PCH 中,
∵tan∠PCH=PH/CH=(PD+12)/12≈2.90,
∴PD≈22.8 米＞18 米.
答:此次改造符合电力部门的安全要求.