《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

8. 下列方程中，根为 $x=\frac{-5\pm\sqrt{25 + 4c}}{2}$ 的是(B)

A.$x^{2}-5x - c = 0$
B.$x^{2}+5x - c = 0$
C.$x^{2}-5x + 4c = 0$
D.$x^{2}+5x + c = 0$

答案： B

9. 一元二次方程 $x^{2}+3x - 1 = 0$ 的较大的根为$\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$。

答案： $\frac{-3+\sqrt{13}}{2}$

10. 【数形结合思想】如图，点 $A$ 在数轴的负半轴上，点 $B$ 在数轴的正半轴上，且点 $A$ 对应的数是 $2x - 1$，点 $B$ 对应的数是 $x^{2}+x$。已知 $AB = 5$，则 $x$ 的值为$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$。

答案： $\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

11. 新考向 新定义问题 定义：$a*b=\frac{a + 2b}{2}$。则方程 $(2x*x^{2})-(x^{2}*2x)=1$ 的解为$x_{1}=1+\sqrt{3},x_{2}=1-\sqrt{3}$。

答案： $x_{1}=1+\sqrt{3},x_{2}=1-\sqrt{3}$

12. 用公式法解下列方程：
(1) $(x - 1)(1 + 2x)=2$；
(2) $3x^{2}=2\sqrt{3}x - 1$。

答案： 解:
(1)方程化为一般形式,得$2x^{2}-x-3=0$,这里$a=2,b=-1,c=-3$.因而$b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4× 2×(-3)=25＞0$,所以$x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2× 2}=\frac{1\pm 5}{4}$.因此,原方程的根为$x_{1}=-1,x_{2}=\frac{3}{2}$.
(2)整理,得$3x^{2}-2\sqrt{3}x+1=0$.这里$a=3,b=-2\sqrt{3},c=1$.因而$b^{2}-4ac=(-2\sqrt{3})^{2}-4× 3× 1=0$,所以$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2× 3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.因此,原方程的根为$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

13. 已知等腰三角形的边长是方程 $x^{2}-2\sqrt{2}x + 1 = 0$ 的两根，求它的周长。

答案： 解:解方程$x^{2}-2\sqrt{2}x+1=0$,得$x_{1}=\sqrt{2}+1,x_{2}=\sqrt{2}-1$.$\because$等腰三角形的边长是方程$x^{2}-2\sqrt{2}x+1=0$的两根,$\therefore$等腰三角形的三边为①$\sqrt{2}+1,\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1$;②$\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1$.$\because\sqrt{2}+1＞\sqrt{2}-1+\sqrt{2}-1$,$\therefore$②不能构成三角形.$\therefore$等腰三角形的三边为$\sqrt{2}+1,\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1$.$\therefore$它的周长为$3\sqrt{2}+1$.

14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1)x^{2}-2mx + m + 1 = 0$。
(1) 求出方程的根；
(2) 当 $m$ 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

答案： 解:
(1)根据题意,得$m\neq 1$,$\because b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4(m-1)(m+1)=4＞0$,$\therefore x=\frac{2m\pm\sqrt{4}}{2(m-1)}=\frac{m\pm 1}{m-1}$.$\therefore x_{1}=\frac{m+1}{m-1},x_{2}=\frac{m-1}{m-1}=1$.
(2)由
(1)知,$x_{1}=\frac{m+1}{m-1}=1+\frac{2}{m-1},x_{2}=1$.$\because$方程的两个根都是正整数,$m$为整数,且$m\neq 1$,$\therefore m-1=1$或$m-1=2$.$\therefore m=2$或$m=3$.