《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(2k - 1)x^2 + x - 4k^2 = 0$ 的一个根为 $1$，则 $k$ 的值为0。

答案： 0

11. 新考向 新定义问题 对于实数 $a$，$b$，定义运算“$\odot$”如下：$a\odot b = (a + b)^2 - (a - b)^2$。若 $(m + 2)\odot(m - 3) = 24$，则 $m =$-3或4。

答案： -3或4

12. 用因式分解法解下列方程：
（1）$x^2 - 4 = 3(x - 2)$；
（2）$(x + 1)^2 - 2(x + 1)(3 - x) + (3 - x)^2 = 0$。

答案： 解：
(1)$(x+2)(x-2)-3(x-2)=0$，$(x+2-3)(x-2)=0$，即$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$．
(2)$[(x+1)-(3-x)]^{2}=0$，即$(2x-2)^{2}=0$，解得$x_{1}=x_{2}=1$．

13. 新考向 阅读理解 阅读下列材料，解答问题：
解方程：$(2x - 5)^2 + (3x + 7)^2 = (5x + 2)^2$。
解：设 $m = 2x - 5$，$n = 3x + 7$，则 $m + n = 5x + 2$。
$\therefore$ 原方程可化为 $m^2 + n^2 = (m + n)^2$。
$\therefore mn = 0$，即 $(2x - 5)(3x + 7) = 0$。
解得 $x_1 = \frac{5}{2}$，$x_2 = -\frac{7}{3}$。
请利用上述方法解方程：$(4x - 5)^2 + (3x - 2)^2 = (x - 3)^2$。

答案： 解：设$m=4x-5$，$n=3x-2$，则$m-n=(4x-5)-(3x-2)=x-3$．$\therefore$原方程可化为$m^{2}+n^{2}=(m-n)^{2}$．$\therefore mn=0$，即$(4x-5)(3x-2)=0$．解得$x_{1}=\dfrac{5}{4}$，$x_{2}=\dfrac{2}{3}$．

微专题 3 运用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程
由多项式乘法：$(x + a)(x + b) = x^2 + ($$)x +$，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^2 + (a + b)x + ab = (x +$$)(x +$$)$。
示例：
分解因式：$x^2 + 3x + 2 = x^2 + (1 + 2)x + 1×2 = (x + 1)(x + 2)$；
$x^2 - 5x + 6 = x^2 + [(-2) + (-3)]x + (-2)×(-3) = (x - 2)(x - 3)$。
(1)分解因式：$x^2 + 6x + 8 = (x +$$)(x +$$)$；
根据乘法原理：若 $ab = 0$，则 $a = 0$ 或 $b = 0$。
(2)请用上述方法解本课时第 7 题，即 $x^2 - 7x + 10 = 0$；
(3)请用上述方法解下列方程：
① $x^2 - 4x - 12 = 0$；
② $2x^2 + x - 6 = 0$。

答案： 解：$a+b$ $ab$ $a$ $b$
(1)2 4
(2)$(x-2)(x-5)=0$，$\therefore x-2=0$或$x-5=0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=5$．
(3)①$(x-6)(x+2)=0$，解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-2$．②$(2x-3)(x+2)=0$，$\therefore 2x-3=0$或$x+2=0$，解得$x_{1}=\dfrac{3}{2}$，$x_{2}=-2$．