《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 如图，一艘海轮位于灯塔 $ P $ 的北偏东 $ 55^{\circ} $ 方向，距离灯塔 $ 2 $ 海里的点 $ A $ 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离 $ AB $ 是(C)

A.$ 2 $ 海里
B.$ 2\sin 55^{\circ} $ 海里
C.$ 2\cos 55^{\circ} $ 海里
D.$ 2\tan 55^{\circ} $ 海里

答案： C

2. 如图，小岛 $ A $ 在港口 $ B $ 北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向上，“远航号”从港口 $ B $ 出发由西向东航行 $ 15 \mathrm{~km} $ 到达点 $ C $，在点 $ C $ 测得小岛 $ A $ 恰好在正北方向上，此时“远航号”与小岛 $ A $ 的距离 $ AC $ 为(B)

A.$ 5\sqrt{3} \mathrm{~km} $
B.$ 15\sqrt{3} \mathrm{~km} $
C.$ 30 \mathrm{~km} $
D.$ 30\sqrt{3} \mathrm{~km} $

答案： B

3. 如图，一艘轮船在 $ M $ 处观测灯塔 $ P $ 位于南偏西 $ 30^{\circ} $ 方向，该轮船沿正南方向航行 $ 30 $ 海里后到达 $ N $ 处，再观测灯塔 $ P $ 位于南偏西 $ 60^{\circ} $ 方向. 若该轮船继续向南航行至离灯塔 $ P $ 最近的位置 $ T $ 处，此时轮船与灯塔之间的距离 $ PT $ 为$15\sqrt{3}$海里(结果保留根号).

答案： $15\sqrt{3}$

4. 水务人员为考察水情，乘快艇以 $ 10 $ 米/秒的速度沿平行于岸边的航线 $ AB $ 由西向东行驶. 如图，在 $ A $ 处测得岸边一栋建筑物 $ P $ 在北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向上，继续行驶 $ 40 $ 秒到达点 $ B $ 处，测得建筑物 $ P $ 在北偏西 $ 60^{\circ} $ 方向上，则建筑物 $ P $ 到航线 $ AB $ 的距离为$100\sqrt{3}$米.

答案： $100\sqrt{3}$

5. （2024·甘孜州）如图，一艘海轮位于灯塔 $ P $ 的北偏东 $ 37^{\circ} $ 方向，距离灯塔 $ 100 $ 海里的点 $ A $ 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $ P $ 的南偏东 $ 45^{\circ} $ 方向上的点 $ B $ 处. 这时，点 $ B $ 处距离点 $ A $ 处有多远？（参考数据：$ \sin 37^{\circ} \approx 0.60 $，$ \cos 37^{\circ} \approx 0.80 $，$ \tan 37^{\circ} \approx 0.75 $）

答案： 解:过点 P 作$PC\perp AB$于点 C.由题意,得$\angle A=37^{\circ}$,$\angle B=45^{\circ}$.在$Rt\triangle APC$中,$\angle A=37^{\circ}$,$AP=100$海里,$\therefore PC=AP\cdot \sin A=100× \sin37^{\circ}\approx 100× 0.60=60$(海里),$AC=AP\cdot \cos37^{\circ}\approx 100× 0.80=80$(海里).在$Rt\triangle PBC$中,$\angle B=45^{\circ}$,$\therefore \angle BPC=45^{\circ}$.$\therefore BC=PC=60$海里.$\therefore AB=AC+BC\approx 80+60=140$(海里).
答:点 B 处距离点 A 处约有140 海里.