《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

1. 若$(a - 2)x^{a^{2}-2}=3$是关于$x$的一元二次方程，则$a$的值是(C)

A.$0$
B.$2$
C.$-2$
D.$\pm 2$

答案： C

2. 已知$x = 1$是一元二次方程$(m - 2)x^{2}+4x - m^{2}=0$的一个根，则$m$的值为(B)

A.$-1$或$2$
B.$-1$
C.$2$
D.$0$

答案： B

3. (2024·贵港桂平市浔郡中学月考)若关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-x-\frac{3}{4}=0$有实数根，则实数$k$的取值范围是$k\geqslant -\dfrac{1}{3}$且$k\neq 0$.

答案： $k\geqslant -\dfrac{1}{3}$且$k\neq 0$

4. 若关于$x$的方程$(m - 1)x^{2}-4x + 2 = 0$有实数根，则$m$的取值范围是$m\leqslant 3$.

答案： $m\leqslant 3$

5. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-kx + 2k - 1 = 0$的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$，且两个根的平方和为$7$，求$k$的取值范围

答案： 解:由根与系数的关系可知,$x_{1}+x_{2}=k$,$x_{1}x_{2}=2k-1$.
∵两个根的平方和为7,$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=7$.$\therefore k^{2}-2(2k-1)=7$,解得$k=-1$或$k=5$.当$k=-1$时,原方程化为$x^{2}+x-3=0$,$\Delta =1+4× 3=13＞0$,满足题意;当$k=5$时,原方程化为$x^{2}-5x+9=0$,$\Delta =(-5)^{2}-4× 9=-11＜0$,不满足题意.$\therefore k=-1$.

6. (2023·贵港桂平市期中)已知等腰三角形的一边长为$2$，它的另外两条边的长是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x + k = 0$的两个实数根，则$k$的值是(B)

A.$8$
B.$9$
C.$12$
D.$8$或$9$

答案： B

7. 如图，在边长为$6$ cm 的正方形$ABCD$中，点$P$从点$A$开始沿边$AB$向点$B$以$1$ cm/s 的速度移动，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$和$CD$向点$D$以$2$ cm/s 的速度移动. 如果点$P,Q$分别从点$A,B$同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止，那么经过2或$\dfrac{10}{3}$ s，$\triangle PBQ$的面积等于$8$ cm².
]

答案： 2或$\dfrac{10}{3}$

8. (2024·贵港桂平市浔郡中学月考)【问题背景】如图，有长为$30$ m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为$10$ m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于$AB$)的矩形花圃.
【数据分析】
(1)设花圃的一边$AB$为$x$ m，则$BC$的长可用含$x$的代数式表示为(30-3x)m；
【问题解决】
(2)当$AB$的长是多少米时，围成的花圃面积为$63$ m²?
]

答案：
(1)$(30-3x)$
(2)依题意,得$x(30-3x)=63$,解得$x_{1}=7$,$x_{2}=3$.当$x=7$时,$30-3x=9＜10$,符合题意;当$x=3$时,$30-3x=21＞10$,不符合题意,舍去.
∴当AB的长是7m时,围成的花圃面积为$63\ m^2$.