《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

8. 如图，已知四边形 $ ABCD $，画出四边形 $ ABCD $ 的位似图形，使其边长缩小为原来的 $ \frac{1}{2} $.

答案： 1. 首先确定位似中心$O$：
可以在平面内任选一点$O$（比如在四边形$ABCD$外部选一点$O$）。
2. 然后连接位似中心与四边形的顶点：
连接$OA$、$OB$、$OC$、$OD$。
3. 接着在射线上取点：
分别在$OA$、$OB$、$OC$、$OD$上取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使得$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=\frac{1}{2}$。
例如，若$OA$的长度为$l$，则$OA'=\frac{1}{2}l$。
4. 最后连接各点：
连接$A'B'$、$B'C'$、$C'D'$、$D'A'$，则四边形$A'B'C'D'$就是四边形$ABCD$以$O$为位似中心，边长缩小为原来$\frac{1}{2}$的位似图形。
（注：位似中心的位置不同，得到的位似图形的位置也不同，答案不唯一）

9. 如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(D)

A.点 $ A $
B.点 $ B $
C.点 $ C $
D.点 $ D $

答案： D

10. 由 $ 12 $ 个有公共顶点 $ O $ 的直角三角形拼成如图所示的图形，$ \angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \cdots = \angle LOM = 30^{\circ} $. 若 $ S_{\triangle AOB} = 1 $，则图中与 $ \triangle AOB $ 位似的三角形的面积为(C)

A.$ (\frac{4}{3})^{3} $
B.$ (\frac{4}{3})^{7} $
C.$ (\frac{4}{3})^{6} $
D.$ (\frac{3}{4})^{6} $

答案： C

11. 如图，$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 是位似图形，点 $ A $，$ B $，$ A' $，$ B' $，$ O $ 共线，点 $ O $ 是位似中心.
（1）$ AC $ 与 $ A'C' $ 平行吗？为什么？
（2）若 $ AB = 2A'B' $，$ OC' = 5 $，求 $ CC' $ 的长.

答案：
(1)$AC// A'C'$.理由:$\because \triangle ABC$与$\triangle A'B'C'$是位似图形,$\therefore \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$.$\therefore \angle A=\angle C'A'B'$.$\therefore AC// A'C'$.
(2)$\because \triangle ABC\backsim \triangle A'B'C'$,$\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$.$\because AB=2A'B'$,$\therefore \frac{AC}{A'C'}=2$.又$\because AC// A'C'$,$\therefore \frac{OC}{OC'}=\frac{AC}{A'C'}=2$.又$\because OC'=5$,$\therefore OC=10$.$\therefore CC'=OC-OC'=10-5=5$.

12. 新考向 综合与实践【概念学习】
我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫作位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫作位似中心. 利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.
【初步探究】
(1)如图 1，点 $ O $ 是等边三角形 $ PQR $ 的中心，$ P' $，$ Q' $，$ R' $ 分别是 $ OP $，$ OQ $，$ OR $ 的中点，则 $ \triangle P'Q'R' $ 与 $ \triangle PQR $ 是位似三角形. 此时，$ \triangle P'Q'R' $ 与 $ \triangle PQR $ 的位似比、位似中心分别为D；
A. $ 2 $、点 $ P $
B. $ \frac{1}{2} $、点 $ P $
C. $ 2 $、点 $ O $
D. $ \frac{1}{2} $、点 $ O $
【迁移运用】
(2)如图 2，用下面的方法可以画 $ \triangle AOB $ 的内接等边三角形. 阅读后证明相应问题.
画法：
① 在 $ \triangle AOB $ 内画等边三角形 $ CDE $，使点 $ C $ 在 $ OA $ 上，点 $ D $ 在 $ OB $ 上；
② 连接 $ OE $ 并延长，交 $ AB $ 于点 $ E' $，过点 $ E' $ 作 $ E'C' // EC $，交 $ OA $ 于点 $ C' $，作 $ E'D' // ED $，交 $ OB $ 于点 $ D' $；
③ 连接 $ C'D' $，则 $ \triangle C'D'E' $ 是 $ \triangle AOB $ 的内接三角形.
求证：$ \triangle C'D'E' $ 是等边三角形.

答案：
(1)D
(2)证明:$\because E'C'// EC$,$E'D'// ED$,$\therefore \triangle OCE\backsim \triangle OC'E'$,$\triangle ODE\backsim \triangle OD'E'$.$\therefore CE:C'E'=OE:OE'$,$DE:D'E'=OE:OE'$,$\angle CEO=\angle C'E'O$,$\angle DEO=\angle D'E'O$.$\therefore CE:C'E'=DE:D'E'$,$\angle CED=\angle C'E'D'$.$\therefore \triangle CDE\backsim \triangle C'D'E'$.$\because \triangle CDE$是等边三角形,$\therefore \triangle C'D'E'$是等边三角形.