《2025年名校课堂九年级数学全一册湘教版广西专版》

3. (2024·南宁二中模拟)如图，二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，且自变量 $ x $ 的部分取值与对应函数值 $ y $ 如下表所示：

(1)求二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的表达式；
(2)如图，连接 $ BC $，若点 $ P $ 在直线 $ BC $ 上方的抛物线上运动，连接 $ PC $，$ PB $. 当点 $ P $ 运动到什么位置时，$ \triangle PCB $ 的面积最大？请求出此时点 $ P $ 的坐标和 $ \triangle PCB $ 的最大面积.

答案： 3.解:
(1)由表格可知,二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的图象过点$(-1,0),(0,3),(3,0)$,$\therefore \begin{cases}a-b+c=0\\c=3\\9a+3b+c=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-1\\b=2\\c=3\end{cases}$.$\therefore$二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x+3$.
(2)过点P作$PH// y$轴交BC于点H.设$P(m,-m^{2}+2m+3)$.由表格可知,$B(3,0),C(0,3)$,$\therefore$直线BC的表达式为$y=-x+3$.$\therefore H(m,-m+3)$,$\therefore PH=-m^{2}+2m+3-(-m+3)=-m^{2}+3m$.$\therefore S_{\triangle PCB}=\frac{1}{2}PH\cdot |x_{B}-x_{C}|=\frac{1}{2}×(-m^{2}+3m)×3=-\frac{3}{2}m^{2}+\frac{9}{2}m=-\frac{3}{2}(m-\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$.$\because -\frac{3}{2}＜0,0＜m＜3$,$\therefore$当$m=\frac{3}{2}$时,$S_{\triangle PCB}$取最大值$\frac{27}{8}$.此时点P的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.

4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = ax^{2} + 2x + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $，$ B(3,0) $ 两点，与 $ y $ 轴交于点 $ C $，点 $ D $ 是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的表达式；
(2)请在 $ y $ 轴上找一点 $ M $，使 $ \triangle BDM $ 的周长最小，求点 $ M $ 的坐标.

答案： 4.解:
(1)将$A(-1,0),B(3,0)$代入,得$\begin{cases}a-2+c=0\\9a+6+c=0\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=-1\\c=3\end{cases}$.$\therefore$抛物线的表达式为$y=-x^{2}+2x+3$.
(2)$\because y=-x^{2}+2x+3=-(x-1)^{2}+4$.$\therefore$顶点D的坐标为$(1,4)$.作点B关于y轴的对称点$B'$,连接$DB'$交y轴于点M,连接BM,BD,则$B'(-3,0)$.$\because MB=MB'$,$\therefore MB+MD=MB'+MD=DB'$.$\therefore$此时$\triangle BDM$的周长最小.设直线$DB'$的表达式为$y=kx+b$,将$B'(-3,0),D(1,4)$代入,得$\begin{cases}-3k+b=0\\k+b=4\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=1\\b=3\end{cases}$.$\therefore$直线$DB'$的表达式为$y=x+3$.当$x=0$时,$y=x+3=3$,$\therefore$点M的坐标为$(0,3)$.